Aby pozbyć się pierwiastka drugiego stopnia, wystarczy podnieść go do kwadratu. W tym zadaniu przydatny będzie wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$

 

 

$a)$

Jeśli podana liczba ma być pierwiastkiem wielomianu w, to w rozkładzie wielomianu w na czynniki musi pojawić się wyrażenie:

$\left(x-2\sqrt{2}\right)$

 

Dopiszmy więc drugi czynnik tak, aby móc skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

$\left(x-2\sqrt{2}\right)\left(x+2\sqrt{2}\right)=x^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2=x^2-4\cdot 2=x^2-8$

Otrzymaliśmy wielomian drugiego stopnia o współczynnikach całkowitych. Mamy mieć wielomian stopnia czwartego o wspólczynnikach całkowitych, więc musimy pomnożyć otrzymany wielomian przez dowolny wielomian stopnia drugiego. Przykładowe rozwiązania:

$1)w\left(x\right)=x^2\left(x^2-8\right)=x^4-8x^2$