Wiadomo, że wielomian $W(x)$ jest podzielny przez wielomian $P(x)=x^4-27x$.

Wykaż, że wielomian $\mathbf{W}(\mathbf{x})$ jest też podzielny przez $\mathbf{H}(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^3+3{\mathbf{x}}^2+9\mathbf{x}$.

Rozwiązanie

$W(x)=P(x)\cdot Q(x)=\left(x^4-27x\right)\cdot Q(x)=x\left(x^3-27\right)\cdot Q(x)=$
$=x\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)\cdot Q(x)=x\left(x^2+3x+9\right)\left(x-3\right)\cdot Q(x)=$
$=\underset{H(x)}{\underbrace{\left(x^3+3x^2+9x\right)}}\cdot \underset{G(x)}{\underbrace{\left(x-3\right)\cdot Q(x)}}=H(x)\cdot G(x)$

Przedstawiliśmy wielomian $W(x)$ w postaci iloczynu wielomianu $H(x)$ i innego wielomianu (oznaczonego jako $G(x)$). Oznacza to, że wielomian $W(x)$ jest podzielny przez wielomian $H(x)$.                                                                                                                                           $■$