5- Zadanie 5: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Wielomian $W (x)$ jest podzielny przez niezerowy wielomian $P (x)$ , gdy istnieje taki wielomian $Q (x)$ , dla którego
$W (x) = P (x) \cdot Q (x)$
Wielomian $Q (x)$ nazywamy ilorazem wielomianu $W (x)$ przez $P (x)$ , a wielomian $P (x)$ – dzielnikiem wielomianu $W (x)$ .

Jeśli wielomian niezerowy można przedstawić w postaci iloczynu kilku wielomianów, to stopień tego wielomianu jest sumą stopni wszystkich czynników tego mnożenia. Ponadto ten wielomian jest podzielny przez każdy z tych czynników.

Przykład 3. Pokażemy, że wielomian $P (x) = x^{2} + 3 x - 2$ jest dzielnikiem wielomianu $W (x) = (5 x^{2} - 2 x + 1)^{2} - (4 x^{2} - 5 x + 3)^{2}$ .

$W (x) = (5 x^{2} - 2 x + 1)^{2} - (4 x^{2} - 5 x + 3)^{2} =$
$= [(5 x^{2} - 2 x + 1) - (4 x^{2} - 5 x + 3)] \cdot [(5 x^{2} - 2 x + 1) + (4 x^{2} - 5 x + 3)] =$
$= (5 x^{2} - 2 x + 1 - 4 x^{2} + 5 x - 3) \cdot (5 x^{2} - 2 x + 1 + 4 x^{2} - 5 x + 3) =$
$= P (x) (x^{2} + 3 x - 2) \cdot Q (x) (9 x^{2} - 7 x + 4) = P (x) \cdot Q (x)$