Znajdź wszystkie wartości parametru $\mathbf{m}$, dla których równanie
                                                        $\mathbf{m}{\mathbf{x}}^4-(\mathbf{m}+1){\mathbf{x}}^2-\mathbf{m}+2=0$
ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$\left(1\right)$  Aby podane równanie było stopnia $4$, musi zachodzić $m\ne 0$.

Stosujemy podstawienie $t=x^2$, gdzie $t\ge 0$.
$m{t}^2-(m+1)t-m+2=0$

Równanie $m{x}^4-(m+1)x^2-m+2=0$ będzie miało dokładnie trzy rozwiązania, gdy równanie $m{t}^2-(m+1)t-m+2=0$ będzie miało dwa rozwiązania $t_1=0$ i $t_2>0$.

$\left(2\right){\Delta }_t>0$         ${\left(-\left(m+1\right)\right)}^2-4\cdot m\cdot \left(-m+2\right)>0$         $m^2+2m+1+4m^2-8m>0$         $5m^2-6m+1>0$         ${\Delta }_m={\left(-6\right)}^2-4\cdot 5\cdot 1=16\to \sqrt{{\Delta }_m}=4$         $m_1=\frac{6-4}{10}=\frac{1}{5}$               $m_2=\frac{6+4}{10}=1$

$m\in \left(-\infty ,\frac{1}{5}\right)\cup \left(1,\infty \right)$