Rozwiąż równanie $-3\sqrt[4]{\mathbf{x}}+\sqrt{\mathbf{x}}=2$. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Dziedzina: $x\ge 0$

Zauważmy, że: ${\left(\sqrt[4]{x}\right)}^2=x^{\frac{2}{4}}=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$

Stosujemy podstawienie $t=\sqrt[4]{x}$, gdzie $t\ge 0$.
$-3t+t^2=2$
$t^2-3t-2=0$
${\Delta }_t={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=17\to \sqrt{{\Delta }_t}=\sqrt{17}$

$t_1=\frac{3-\sqrt{17}}{2}<0$

$t_2=\frac{3+\sqrt{17}}{2}>0$

$t=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$
$\sqrt[4]{x}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$
$x={\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)}^4$
$x=\frac{{\left(3+\sqrt{17}\right)}^4}{16}$

Odp.: $x=\frac{{\left(3+\sqrt{17}\right)}^4}{16}$