Rozwiąż równanie ${\mathbf{x}}^4-2{\mathbf{x}}^2=1$. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Stosujemy podstawienie $t=x^2$, gdzie $t\ge 0$.
$t^2-2t=1$
$t^2+2t-1=0$
${\Delta }_t=2^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=8\to \sqrt{{\Delta }_t}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$
$t_1=\frac{2-2\sqrt{2}}{2}=1-\sqrt{2}<0$           
$t_2=\frac{2+2\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}>0$

$t=1+\sqrt{2}$
$x^2=1+\sqrt{2}$
$x=\sqrt{1+\sqrt{2}}\vee x=-\sqrt{1+\sqrt{2}}$

Odp.: $x\in \left\{-\sqrt{1+\sqrt{2}},\sqrt{1+\sqrt{2}}\right\}$