Dane są funkcje liniowe $f(x)=2px-1$ oraz $g(x)=\left(\frac{1}{2}{p}^2-\frac{1}{4}p-1\right)x+3p-1$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $\mathbf{p}$, dla których wykresy funkcji $\mathbf{f}$ i $\mathbf{g}$
są prostopadłe. Zapisz obliczenia. 

Rozwiązanie

$2p\cdot \left(\frac{1}{2}{p}^2-\frac{1}{4}p-1\right)=-1$
$p^3-\frac{1}{2}{p}^2-2p+1=0$
$p^2\left(p-\frac{1}{2}\right)-2\left(p-\frac{1}{2}\right)=0$
$\left(p-\frac{1}{2}\right)\left(p^2-2\right)=0$
$\begin{array}{ccc}p-\frac{1}{2}=0& \vee & p^2-2=0\\ p=\frac{1}{2}& & p^2=2\\ & & p=\sqrt{2}\vee p=-\sqrt{2}\end{array}$
Odp.: Wykresy podanych funkcji są prostopadłe dla $p\in \left\{-\sqrt{2},\frac{1}{2},\sqrt{2}\right\}$.