usunięte 11- Zadanie usunięte 11: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Udowodnij, że funkcja $h (x) = \frac{3 x - 4}{x - 3}$ jest monotoniczna w przedziale $(- \infty, 3)$ .

Rozwiązanie

Niech $x_{1}$ , $x_{2} < 3$ i $x_{1} < x_{2}$ .

$h (x_{2}) - h (x_{1}) = \frac{3 x _{2} - 4}{x _{2} - 3} - \frac{3 x _{1} - 4}{x _{1} - 3} = \frac{( 3 x _{2} - 4 ) ( x _{1} - 3 )}{( x _{2} - 3 ) ( x _{1} - 3 )} - \frac{( 3 x _{1} - 4 ) ( x _{2} - 3 )}{( x _{2} - 3 ) ( x _{1} - 3 )} =$

$= \frac{3 x _{1} x _{2} - 4 x _{1} - 9 x _{2} + 12}{( x _{2} - 3 ) ( x _{1} - 3 )} - \frac{3 x _{1} x _{2} - 9 x _{1} - 4 x _{2} + 12}{( x _{2} - 3 ) ( x _{1} - 3 )} = \frac{3 x _{1} x _{2} - 4 x _{1} - 9 x _{2} + 12 - ( 3 x _{1} x _{2} - 9 x _{1} - 4 x _{2} + 12 )}{( x _{2} - 3 ) ( x _{1} - 3 )} =$

$= \frac{- 4 x _{1} - 9 x _{2} + 9 x _{1} + 4 x _{2}}{( x _{2} - 3 ) ( x _{1} - 3 )} = \frac{5 x _{1} - 5 x _{2}}{( x _{2} - 3 ) ( x _{1} - 3 )} = \frac{5 ( x _{1} - x _{2} )}{( x _{2} - 3 ) ( x _{1} - 3 )}$

$x_{2} - 3 < 0$ i $x_{1} - 3 < 0$ , bo $x_{1}$ , $x_{2} < 3$ . Z tego wynika, że $(x_{2} - 3) (x_{1} - 3) > 0$
$x_{1} - x_{2} < 0$ , ponieważ założyliśmy, że $x_{1} < x_{2}$

W takim razie $h (x_{2}) - h (x_{1}) = \frac{5 ( x _{1} - x _{2} )}{( x _{2} - 3 ) ( x _{1} - 3 )} < 0$ , czyli $h (x_{2}) < h (x_{1})$ .
To oznacza, że funkcja $h$ jest malejąca w przedziale $(- \infty, 3)$ , a co za tym idzie, jest w tym zbiorze monotoniczna. $■$