Udowodnij, że funkcja $\mathbf{f}(\mathbf{x})=(\mathbf{x}-1{)}^2+2$ jest monotoniczna w przedziale $\left(1,\infty \right)$.

Rozwiązanie

Niech $x_1$, $x_2>1$ i $x_1<x_2$.

$f(x_2)-f(x_1)=(x_2-1{)}^2+2-\left((x_1-1{)}^2+2\right)=(x_2-1{)}^2+2-(x_1-1{)}^2-2=$
$=(x_2-1{)}^2-(x_1-1{)}^2=(x_2-1-(x_1-1))(x_2-1+x_1-1)=(x_2-x_1)(x_2-1+x_1-1)$

• $x_2-1>0$ i $x_1-1>0$, ponieważ $x_1$, $x_2>1$
• $x_2-x_1>0$, bo założyliśmy, że $x_2>x_1$

W takim razie $f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)(x_2-1+x_1-1)>0$, czyli $f(x_2)>f(x_1)$.
To oznacza, że funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $\left(1,\infty \right)$, a co za tym idzie, jest monotoniczna w tym zbiorze.                                                                                                            $■$