3- Zadanie 3: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Funkcję $f : X \to R$ nazwiemy funkcją malejącą w zbiorze $A \subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_{1}$ , $x_{2} \in A$ zachodzi warunek: jeśli $x_{1} < x_{2}$ , to $f (x_{1}) > f (x_{2})$ .

Przykład 2. Udowodnij, że funkcja $g (x) = \frac{3}{x}$ jest funkcją malejącą w zbiorze $(0, \infty)$ .

Rozwiązanie

Niech $x_{1}$ , $x_{2} > 0$ i $x_{1} < x_{2}$ .

$g (x_{2}) - g (x_{1}) = \frac{3}{x _{2}} - \frac{3}{x _{1}} =$
$= \frac{3 x _{1}}{x _{1} x _{2}} - \frac{3 x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{3 x _{1} - 3 x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{3 ( x _{1} - x _{2} )}{x _{1} x _{2}} < 0$