Udowodnij, że funkcja $\mathbf{g}(\mathbf{x})=\frac{3}{{\mathbf{x}}^3}$ jest malejąca w przedziale $\left(0,\infty \right)$.

Rozwiązanie

Niech $x_1$, $x_2>0$ i $x_1<x_2$.

$g(x_2)-g(x_1)=\frac{3}{x_2^3}-\frac{3}{x_1^3}=\frac{3x_1^3}{x_2^3\cdot x_1^3}-\frac{3x_2^3}{x_2^3\cdot x_1^3}=\frac{3x_1^3-3x_2^3}{x_2^3\cdot x_1^3}=$

$=\frac{3(x_1^3-x_2^3)}{x_2^3\cdot x_1^3}=\frac{3(x_1-x_2)(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2)}{x_2^3\cdot x_1^3}$

• $x_2^3>0$ i $x_1^3>0$, bo $x_1$, $x_2>0$; z tego wynika, że $x_2^3\cdot x_1^3>0$
• $x_1-x_2<0$, bo założyliśmy, że $x_1<x_2$
• $x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2>0$, bo $x_1$, $x_2>0$

W takim razie $g(x_2)-g(x_1)=\frac{3(x_1-x_2)(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2)}{x_2^3\cdot x_1^3}<0$, czyli $g(x_2)<g(x_1)$.
To oznacza, że funkcja $g$ jest malejąca w przedziale $\left(0,\infty \right)$.                                 $■$