Ciąg $\left(b_n\right)$ dany jest wzorem $b_n=\frac{5n}{n+1}$.

Zbadaj monotoniczność ciągu $({\mathbf{b}}_{\mathbf{n}})$. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$b_n=\frac{5n}{n+1}$
$b_{n+1}=\frac{5(n+1)}{n+1+1}=\frac{5n+5}{n+2}$

$b_{n+1}-b_n=\frac{5n+5}{n+2}-\frac{5n}{n+1}=\frac{(5n+5)(n+1)}{(n+1)(n+2)}-\frac{5n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=$
$=\frac{5(n+1{)}^2-5n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{5n^2+10n+5-5n^2-10n}{(n+1)(n+2)}=\frac{5}{(n+1)(n+2)}>0$

Dla każdej liczby naturalnej $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ zachodzi $b_{n+1}-b_n>0$ , więc ciąg $(b_n)$ jest ciągiem rosnącym.

Odp.: Ciąg $(b_n)$ jest rosnący.