Zadanie x. Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$, zaznaczono kąt $\alpha$ o wierzchołku w punkcie $\left(0,0\right)$, gdzie jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią $Ox$. Drugie ramię tego kąta przechodzi przez punkt $A=\left(-2,5\right)$.

rysunek 1

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta $\alpha$ jest równy

A.  $\left(-\frac{5}{2}\right)$                    B.  $\left(-\frac{2}{5}\right)$                    C.  $\frac{2}{\sqrt{29}}$                    D.  $\left(-\frac{2}{\sqrt{29}}\right)$

Rozwiązanie

$A=\left(-2,5\right)\to x=-2$,  $y=5$

$r=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$

$\cos \alpha =\frac{-2}{\sqrt{29}}=-\frac{2}{\sqrt{29}}$

 

---

 

 

Rozważamy kąty $\alpha \in \left[0^{\circ },180^{\circ }\right]$.

Punkt $O=\left(0,0\right)$ jest wierzchołkiem kąta $\alpha$.

Jedno z ramion (nazywane ramieniem początkowym) tego kąta zawiera się w dodatniej półosi $Ox$.

Jego drugie ramię (nazywane ramieniem końcowym) jest odłożone w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (kom: czyli ramię początkowe jest nieruchome, a końcowe zatacza półokrąg).

Wybieramy punkt $P$ (różny od punktu $O=\left(0,0\right)$) i odcinek $OP$ będziemy nazywać promieniem wodzącym punktu $P$. (kom: odległość punktu P od początku układu współrzędnych)

rysunek

 

---

 

 

Definicja

rysunek

 

Punkt $P=\left(x,y\right)$ leży na końcowym ramieniu kąta $\alpha$.

Niech $r=\sqrt{x^2+y^2}$  będzie promieniem wodzącym punktu $P$. (związek ten możemy otrzymać korzystać ze wzoru na długość odcinka dla odcinka OP)

$\sin \alpha =\frac{y}{r}$

$\cos \alpha =\frac{x}{r}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x}$,  $x\ne 0$

(Sinus kąta alpha to stosunek rzędnej wybranego punktu leżącego na ramieniu końcowym kąta do promienia wodzącego tego punktu 

Cosinus kąta alpha to stosunek odciętej dowolnego punktu lezącego na ramieniu końcowym kąta do promienia wodzącego tego punktu.

Tangens kąta alpha to stosunek rzędnej dowolnego punktu leżącego na ramieniu końcowym tego kąta do odciętej tego punktu. Oczywiście x nie może być zerem.

 

Każdy ze stosunków $\frac{y}{r}$, $\frac{x}{r}$ i $\frac{y}{x}$ nie zależy od wyboru punktu $P$, a wyłącznie od położenia ramienia końcowego danego kąta. 

 

---

 

 

Znaki funkcji trygonometrycznych

(rysunek)

I ćwiartka układu współrzędnych   $\to \alpha \in \left(0^{\circ },90^{\circ }\right)$

$x>0$, $y>0$, $r>0$

$\sin \alpha =\frac{y}{r}>0$

$\cos \alpha =\frac{x}{r}>0$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x}>0$

 

II ćwiartka układu współrzędnych   $\to \alpha \in \left(90^{\circ },180^{\circ }\right)$

$x<0$, $y>0$, $r>0$

$\sin \alpha =\frac{y}{r}>0$

$\cos \alpha =\frac{x}{r}<0$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x}<0$

 

$\alpha$	$\alpha \in \left(0^{\circ },90^{\circ }\right)$	$\alpha \in \left(90^{\circ },180^{\circ }\right)$
$\sin \alpha$	$+$	$+$
$\cos \alpha$	$+$	$-$
$\mathrm{tg}\alpha$	$+$	$-$

 

 

Uwaga

Niech $\alpha \in \left(0^{\circ },180^{\circ }\right)$. Wtedy

$\sin \alpha \in \left[-1,1\right]$

$\cos \alpha \in \left[-1,1\right]$

$\mathrm{tg}\alpha \in \mathbb{R}$

 

---

 

 

Przykład x. Do ramienia końcowego kąta $\alpha$ należy punkt $M=\left(-4,3\right)$. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych podanego kąta.

rysunek

$M=\left(-4,3\right)\to x=-4$, $y=3$

$r=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

$\sin \alpha =\frac{3}{5}$

$\cos \alpha =\frac{-4}{5}=-\frac{4}{5}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{-4}=-\frac{3}{4}$

 

---

 

 

Zadanie x.  Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$, zaznaczono kąt $\alpha$ o wierzchołku w punkcie $\left(0,0\right)$, gdzie jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią $Ox$. Drugie ramię tego kąta przechodzi przez punkt $P=\left(-3,4\right)$.

rysunek 

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F, jeśli jest fałszywe.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy $\left(-\frac{3}{4}\right)$.	P	F
Wartość wyrażenia $5\cos \alpha +\frac{1}{\sin \alpha }$ wynosi $\left(-1\frac{3}{4}\right)$.	P	F

Rozwiązanie

Zdanie pierwsze

$P=\left(-3,4\right)\to x=-3,y=4$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x}=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3}\ne -\frac{3}{4}$

Zdanie drugie

$P=\left(-3,4\right)\to x=-3,y=4$

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

$\sin \alpha =\frac{y}{r}=\frac{4}{5}$

$\cos \alpha =\frac{x}{r}=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}$

$5\cos \alpha +\frac{1}{\sin \alpha }=5\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{1}{\frac{4}{5}}=-3+1\cdot \frac{5}{4}=-3+\frac{5}{4}=-3+1\frac{1}{4}=-1\frac{3}{4}$

 

Zadanie x. Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$, zaznaczono kąt $\alpha$ o wierzchołku w punkcie $\left(0,0\right)$, gdzie jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią $Ox$. Drugie ramię tego kąta przechodzi przez punkt $P=\left(-1,5\right)$.

RYSUNEK

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla kąta $\alpha$ prawdziwa jest zależność

A.  $\mathrm{tg}\alpha >\mathrm{tg}45^{\circ }$               B.  $\sin \alpha \cdot \mathrm{tg}\alpha >0$               C.  $\sin \alpha +\cos \alpha >0$               D.  $\sin \alpha -\cos \alpha <0$

Rozwiązanie

A. $\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x}=\frac{5}{-1}=-5$

$\mathrm{tg}45^{\circ }=1$

Nieprawdą jest, że $-5>1$, czyli zależność $\mathrm{tg}\alpha >\mathrm{tg}45^{\circ }$ jest fałszywa.

B. Dla kąta wypukłego $\alpha$ mamy $\sin \alpha >0$ i $\mathrm{tg}\alpha <0$.

$\sin \alpha \cdot \cos \alpha <0$, czyli zależność $\sin \alpha \cdot \mathrm{tg}\alpha >0$ jest fałszywa.

C. $r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+5^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$

$\sin \alpha =\frac{y}{r}=\frac{5}{\sqrt{26}}$

$\cos \alpha =\frac{x}{r}=\frac{-1}{\sqrt{26}}$

$\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{5}{\sqrt{26}}+\left(-\frac{1}{\sqrt{26}}\right)=\frac{5}{\sqrt{26}}-\frac{1}{\sqrt{26}}=\frac{4}{\sqrt{26}}>0$

Zależność $\sin \alpha +\cos \alpha >0$ jest prawdziwa.

D. $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{5}{\sqrt{26}}-\left(-\frac{1}{\sqrt{26}}\right)=\frac{5}{\sqrt{26}}+\frac{1}{\sqrt{26}}=\frac{6}{\sqrt{26}}>0$

Zależność $\sin \alpha -\cos \alpha <0$ jest fałszywa.