Definicja

Pierwiastkiem kwadratowym z liczby nazywamy taką liczbę , która podniesiona do kwadratu jest równa .

, gdy

Pierwiastkiem sześciennym z liczby nazywamy taką liczbę , która podniesiona do sześcianu jest równa .

, gdy

Definicja

Pierwiastkiem stopnia parzystego , gdzie jest dodatnią liczbą parzystą, z liczby nazywamy liczbę , która podniesiona do potęgi jest równa .

, gdy

Pierwiastkiem stopnia nieparzystego , gdzie jest dodatnią liczbą nieparzystą, z liczby nazywamy liczbę , która podniesiona do potęgi jest równa .

, gdy

(KOM: Podkreślamy zatem to, że pierwiastki stopnia parzystego są określone tylko dla liczb nieujemnych, a pierwiastki stopnia nieparzystego są określone dla wszystkich liczb rzeczywistych.)

Twierdzenie o działaniach na pierwiastkach

Niech będzie liczbą naturalną, niech będzie liczbą naturalną oraz niech istnieją pierwiastki i . Wtedy:

dla

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka

KOM: Gdy w mianowniku ułamka występuje pierwiastek (lub jakieś wyrażenie z pierwiastkiem), to możemy tak go przekształcić żeby w mianowniku tego ułamka była liczba wymierna. Mówimy wtedy, że usuwamy niewymierność z mianownika podanego ułamka. Usuwając niewymierność z mianownika, mnożymy ten ułamek przez odpowiednio przedstawioną liczbę 1, ponieważ mnożąc dowolną liczbę przez 1 nie zmieniamy jej wartości.

Przykład x. Usuń niewymierność z mianownika podanego ułamka.

a)

b)

c)

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Przy odpowiednich założeniach, korzystając ze wzoru na pierwiastek iloczynu mamy:

Przekształcenie to jest wyłączaniem czynnika przed znak pierwiastka. Operacja ta jest możliwa tylko wtedy, gdy liczbę podpierwiastkową można zapisać w postaci iloczynu takich liczb, że z przynajmniej jedną z nich możemy spierwiastkować.

(Sprawdzamy, czy liczbę pod pierwiastkiem można przedstawić jako iloczyn takich liczb...)

Przykład x. Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Włączanie czynnika pod pierwiastek

Czynnik stojący przed pierwiastkiem, możemy włączyć pod znak pierwiastka. Podnosimy go wtedy do takiej potęgi, jaki mamy stopień pierwiastka i zapisujemy pod tym pierwiastkiem. Czynność taką nazywamy włączaniem czynnika pod znak pierwiastka.

Przykład x. Włącz czynnik pod znak pierwiastka

a)

b)

c)