Definicja

Pierwiastkiem kwadratowym z liczby $a\ge 0$ nazywamy taką liczbę $b\ge 0$, która podniesiona do kwadratu jest równa $a$.

$\sqrt{a}=b$,  gdy $b^2=a$

Pierwiastkiem sześciennym z liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$, która podniesiona do sześcianu jest równa $a$.

$\sqrt[3]{a}=b$,  gdy $b^3=a$

 

Definicja

Pierwiastkiem stopnia parzystego $n$, gdzie $n$ jest dodatnią liczbą parzystą, z liczby $a\ge 0$ nazywamy liczbę $b\ge 0$, która podniesiona do potęgi $n$ jest równa $a$.

$\sqrt[n]{a}=b$, gdy $b^n=a$

Pierwiastkiem stopnia nieparzystego $n$, gdzie $n$ jest dodatnią liczbą nieparzystą, z liczby $a$ nazywamy liczbę $b$, która podniesiona do potęgi $n$ jest równa $a$.

$\sqrt[n]{a}=b$,  gdy $b^n=a$

(KOM: Podkreślamy zatem to, że pierwiastki stopnia parzystego są określone tylko dla liczb nieujemnych, a pierwiastki stopnia nieparzystego są określone dla wszystkich liczb rzeczywistych.)

 

Twierdzenie o działaniach na pierwiastkach

Niech $n>1$ będzie liczbą naturalną, niech $m>0$ będzie liczbą naturalną oraz niech istnieją pierwiastki $\sqrt[n]{a}$ i $\sqrt[n]{b}$. Wtedy:

1. $\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$
2. $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ dla $b\ne 0$
3. ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$

 

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka

KOM: Gdy w mianowniku ułamka występuje pierwiastek (lub jakieś wyrażenie z pierwiastkiem), to możemy tak go przekształcić żeby w mianowniku tego ułamka była liczba wymierna. Mówimy wtedy, że usuwamy niewymierność z mianownika podanego ułamka. Usuwając niewymierność z mianownika, mnożymy ten ułamek przez odpowiednio przedstawioną liczbę 1, ponieważ mnożąc dowolną liczbę przez 1 nie zmieniamy jej wartości. 

Przykład x. Usuń niewymierność z mianownika podanego ułamka. 

a) $\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

b) $\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{3\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

c) $\frac{5-\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{5-\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\left(5-\sqrt{5}\right)\cdot \sqrt{5}}{4\cdot 5}=\frac{5\sqrt{5}-5}{20}=\frac{5\left(\sqrt{5}-1\right)}{20}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

 

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka 

Przy odpowiednich założeniach, korzystając ze wzoru na pierwiastek iloczynu mamy:

$\sqrt[n]{a^n\cdot b}=\sqrt[n]{a^n}\cdot \sqrt[n]{b}=a\sqrt[n]{b}$

Przekształcenie to jest wyłączaniem czynnika przed znak pierwiastka. Operacja ta jest możliwa tylko wtedy, gdy liczbę podpierwiastkową można zapisać w postaci iloczynu takich liczb, że z przynajmniej jedną z nich możemy spierwiastkować. 

(Sprawdzamy, czy liczbę pod pierwiastkiem można przedstawić jako iloczyn takich liczb...)

Przykład x. Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka:

a) $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$

b) $\sqrt{250}=\sqrt{25\cdot 10}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{10}=5\sqrt{10}$

c) $\sqrt{2\frac{2}{9}}=\sqrt{\frac{20}{9}}=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}}{3}=\frac{2\sqrt{5}}{3}$

d) $\frac{\sqrt{45}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{9\cdot 5}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2$

e) $\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\cdot 2}=\sqrt[3]{8}\cdot \sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$

f) $\sqrt[3]{108}=\sqrt[3]{27\cdot 4}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{4}=3\sqrt[3]{4}$

 

Włączanie czynnika pod pierwiastek

Czynnik stojący przed pierwiastkiem, możemy włączyć pod znak pierwiastka. Podnosimy go wtedy do takiej potęgi, jaki mamy stopień pierwiastka i zapisujemy pod tym pierwiastkiem. Czynność taką nazywamy włączaniem czynnika pod znak pierwiastka.

Przykład x. Włącz czynnik pod znak pierwiastka

a) $7\sqrt{3}=\sqrt{7^2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{49}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{49\cdot 3}=\sqrt{147}$

b) $\frac{1}{5}\sqrt{125}=\sqrt{{\left(\frac{1}{5}\right)}^2}\cdot \sqrt{125}=\sqrt{\frac{1}{25}}\cdot \sqrt{125}=\sqrt{\frac{1}{25}\cdot 125}=\sqrt{5}$

c) $4\sqrt[3]{10}=\sqrt[3]{4^3}\cdot \sqrt[3]{10}=\sqrt[3]{64}\cdot \sqrt[3]{10}=\sqrt[3]{640}$

 

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $15\cdot \sqrt{\frac{2}{5}}-\sqrt{40}$ jest równa

A.  $\left(-2\sqrt{10}\right)$                    B.  $\left(-\sqrt{10}\right)$                    C.  $\sqrt{10}$                    D.  $5\sqrt{2}$

Rozwiązanie:

$15\cdot \sqrt{\frac{2}{5}}-\sqrt{40}=\sqrt{225\cdot \frac{2}{5}}-\sqrt{40}=\sqrt{90}-\sqrt{40}=\sqrt{9\cdot 10}-\sqrt{4\cdot 10}=3\sqrt{10}-2\sqrt{10}=\sqrt{10}$

Odp. C

 

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\sqrt[3]{-\frac{125}{81}}\cdot \sqrt[3]{3}$ jest równa

A.  $\left(-\frac{3}{5}\right)$                    B.  $\frac{3}{5}$                    C.  $\left(-\frac{5}{3}\right)$                    D.  $\frac{5}{3}$

Rozwiązanie:

$\sqrt[3]{-\frac{125}{81}}\cdot \sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{-\frac{125}{81}\cdot 3}=\sqrt[3]{-\frac{125}{{}_{27}\cancel{81}}\cdot {\cancel{3}}^1}=\sqrt[3]{-\frac{125}{27}}=-\frac{5}{3}$

Odp. C

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia ${\left(y-x\right)}^2$ dla $x=\sqrt{20}$ i $y=3\sqrt{45}$ jest równa

A.  $245$                    B.  $7\sqrt{5}$                    C.  $105$                    D.  $15$

Rozwiązanie:

• $x=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\sqrt{5}$
• $y=3\sqrt{45}=3\sqrt{9\cdot 5}=3\cdot \sqrt{9}\cdot \sqrt{5}=3\cdot 3\cdot \sqrt{5}=9\sqrt{5}$

${\left(y-x\right)}^2={\left(9\sqrt{5}-2\sqrt{5}\right)}^2={\left(7\sqrt{5}\right)}^2=7^2\cdot {\left(\sqrt{5}\right)}^2=49\cdot 5=245$

Odp. A

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\frac{\sqrt{75}-\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$ jest równa

A.  $2$                    B.  $4$                    C.  $5-3\sqrt{3}$                    D.  $2\sqrt{3}$

Rozwiązanie:

$\frac{\sqrt{75}-\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{25\cdot 3}-\sqrt{9\cdot 3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2$

Odp. A

 

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $2+\frac{6}{5\sqrt{6}}$ jest równa

A.  $\frac{2+\sqrt{6}}{5}$                    B.  $\frac{10+\sqrt{6}}{5}$                    C.  $\frac{2\sqrt{6}}{5}$                    D.  $\frac{10\sqrt{6}}{5}$

Rozwiązanie

$2+\frac{6}{5\sqrt{6}}=2+\frac{6}{5\sqrt{6}}\cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=2+\frac{6\sqrt{6}}{5\cdot 6}=2+\frac{\sqrt{6}}{5}=\frac{10}{5}+\frac{\sqrt{6}}{5}=\frac{10+\sqrt{6}}{5}$

Odp. B