Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie, którego rozwiązaniem są dwie liczby ujemne jest

A.  $\left|x-9\right|=7$               B.  $\left|x-9\right|=-7$               C.  $\left|x+9\right|=7$               D.  $\left|x+9\right|=-7$

Rozwiązanie

(równania B i D są równaniami sprzecznymi, bo wartość bezwzględna jest l nieujemną, więc nie może dać wyniku ujemnego.)

A.

$\left|x-9\right|=7$
$x-9=7\text{lub}x-9=-7$
$x=16$                    $x=2$

C.

$\left|x+9\right|=7$
$x+9=7\text{lub}x+9=-7$
$x=-2$                   $x=-16$

 

---

 

 

Definicja wartości bezwzględnej kopia z rozdziału 2

 

Wartość bezwzględna danej liczby jest zawsze nieujemna i wyrażenie wartość bezwzględna z a interpretujemy jako odległość na osi liczbowej liczby a od zera.

$\left|x\right|=4$

rysunek

$x\in \left\{-4,4\right\}$

 

Odległość między liczbami $a$ i $b$ jest równa $\left|a-b\right|$.

rysunek

 

Przykład 1. Rozwiąż równanie wykorzystując interpretację geometryczną wartości bezwzględnej.

a) $\left|x-2\right|=7$

(Rysujemy oś liczbową i będziemy szukać takich x-ów, których odległość od dwójki jest równa 7. Od dwójki przesuwamy się więc o 7 w lewo i mamy minus piątkę, następnie jak przesuniemy się o 7 w prawo to dostaniemy 9)

rysunek

$x\in \left\{-5,9\right\}$

 

b) $\left|x+5\right|=2$

Zapiszmy wyrażenie x dodać 5 jako x odjąć minus 5 zebysmy mogli skorzystac z interpretacji geometrycznej wyrazenia wartosc bezwzględna z a odjąć b.

$\left|x-\left(-5\right)\right|=2$

Wartość bezwzględna z x odjąć minus pięc opisuje nam odległość między pewną liczbą x i minus piątką. Odległość ta jest równa dwa.

Na osi liczbowej, szukamy więc liczb, które są oddalone od minus piątki o 2 jednostki. Patrząc na lewą stronę mamy -7, a na prawo mamy -3.

rysunek

$x\in \left\{-7,-3\right\}$

 

Twierdzenie

Dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej $a$ i dowolnego wyrażenia $w$ zachodzi

$\left|w\right|=a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $w=a$ lub $w=-a$.

 

 

Twierdzenie

Równanie $\left|w\right|=a$

• ma dwa rozwiązania dla $a>0$
• ma jedno rozwiązania dla $a=0$
• nie ma rozwiązań dla $a<0$

 

 

Przykład 2. Rozwiąż równania.

a) $\left|x+\frac{1}{2}\right|=-10$

Równanie sprzeczne, bo $\left|a\right|\ge 0$ dla $a\in \mathbb{R}$.

b) $\left|x+4\right|=3$

$x+4=3\text{lub}x+4=-3$

$x=-1x=-7$

$x\in \left\{-7,-1\right\}$

 

c) $\left|x-12\frac{1}{2}\right|=0$

$x-12\frac{1}{2}=0$

$x=12\frac{1}{2}$

 

d) $\left|\frac{1}{2}t-1\right|+2\left|\frac{1}{2}t-1\right|=6$

$3\left|\frac{1}{2}t-1\right|=6|:3$

$\left|\frac{1}{2}t-1\right|=2$

$\frac{1}{2}t-1=2\text{lub}\frac{1}{2}t-1=-2$

$\frac{1}{2}t=3|\cdot 2$                  $\frac{1}{2}t=-1|\cdot 2$

$t=6$                                $t=-2$

$t\in \left\{-2,6\right\}$

 

e) $\left|4x+8\right|-\left|2+x\right|=24$

$\left|4\left(x+2\right)\right|-\left|x+2\right|=24$

$4\left|x+2\right|-\left|x+2\right|=24$

$3\left|x+2\right|=24|:3$

$\left|x+2\right|=8$

$x+2=8\text{lub}x+2=-8$

$x=6$                           $x=-10$

$x\in \left\{-10,6\right\}$

 

 

---

 

 

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równaniem tożsamościowym jest równanie

A.  $\left|x\right|+x=0$               B.  $\left|x\right|-x=0$                    C.  $\left|x\right|+\left|x\right|=2\sqrt{x^2}$               D.  $\left|x\right|\cdot \left|-x\right|=-x^2$

Rozwiązanie

A.  $\left|x\right|+x=0$
$\left|x\right|=-x$
Prawdziwe dla $x\le 0$.

B.  $\left|x\right|-x=0$
$\left|x\right|=x$
Prawdziwe dla $x\ge 0$.

C. $\left|x\right|+\left|x\right|=2\sqrt{x^2}$
$2\left|x\right|=2\left|x\right|$
Prawdziwe dla $x\in \mathbb{R}$.

D.  $\left|x\right|\cdot \left|-x\right|=-x^2$
$\left|x\right|\cdot \left|x\right|=-x^2$
$\left|x\cdot x\right|=-x^2$
$\left|x^2\right|=-x^2$
$x^2=-x^2$
Prawdziwe tylko dla $x=0$.

 

Zadanie x. Dane jest równanie z niewiadomą $x$ postaci $\left|2x-3m\right|=4$, gdzie $m$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba $\frac{1}{2}$ jest jednym z rozwiązań tego równania. 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość liczby $m$ jest równa

A.  $m=-1$                    B.  $m=1\frac{2}{3}$                    C.  $m\in \left\{-1,1\frac{2}{3}\right\}$                    D.  $m\in \left\{\frac{1}{2},4\frac{1}{2}\right\}$

Rozwiązanie

$\left|2\cdot \frac{1}{2}-3m\right|=4$

$\left|1-3m\right|=4$

$1-3m=4\text{lub}1-3m=-4$

$-3m=3-3m=-5$

$m=-1m=\frac{5}{3}$

                                     $m=1\frac{2}{3}$

$m\in \left\{-1,1\frac{2}{3}\right\}$