całość- Zadanie całość: Kurs maturalny z matematyki podstawowej

Rozwiązanie

Liczby naturalne

Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór $N = {0, 1, 2, 3, 4, \dots}$ .

KOMENTARZ: Zero jest najmniejszą liczbą naturalną. Każde dwie kolejne liczby naturalne różnią się o jeden.

Liczby całkowite

Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór $Z = {\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots}$ .

Definicja

Niech liczby $m \neq = 0$ i $n$ będą liczbami naturalnymi. Liczba $m$ jest dzielnikiem liczby $n$ wtedy, gdy istnieje taka liczba naturalna $k$ , że $n = m \cdot k$ .

Mówimy, że liczba $n$ jest podzielna przez liczbę $m$ oraz, że liczba $n$ jest wielokrotnością liczby $m$ .

Przykład 1.

a) Wypisz naturalne dzielniki liczby $24$ .

Naturalnymi dzielnikami liczby $24$ są liczby: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ . (Kom: Liczba 24 ma osiem dzielników naturalnych.)

b) Wypisz całkowite dzielniki liczby $35$ .

Całkowitymi dzielnikami liczby $35$ są liczby: $- 1, 1, - 5, 5, - 7, 7, - 35, 35$ .

c) Wypisz kolejne naturalne wielokrotności liczby $5$ .

Kolejnymi naturalnymi wielokrotnościami liczby $5$ są liczby: $0, 5, 10, 15, 20, \dots$ .

Definicja

Liczbą pierwszą nazywamy liczbę naturalną $n > 1$ , która ma dokładnie dwa dzielniki (liczbę $1$ oraz samą siebie).

Definicja

Liczbą złożoną nazywamy liczbę naturalną $n > 1$ , która nie jest liczbą pierwszą.

Liczby naturalne $0$ i $1$ nie są ani liczbami pierwszymi, ani liczbami złożonymi.

(KOM: Liczba zero ma nieskończenie wiele dzielników, bo każda liczba naturalna niebędąca zerem jest dzielnikiem zera. A liczba jeden ma dokładnie jeden dzielnik naturalny, który jest właśnie równy jeden.)

Przykład 2. Kolejne liczby pierwsze:

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \dots$

Przykład 3. Kolejne liczby złożone:

$4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, \dots$

Rozkład liczby na czynniki pierwsze

Liczbę złożoną możemy rozłożyć na czynniki pierwsze, czyli zapisać ją w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Przykład 4. Rozłóż podane liczby na czynniki pierwsze.

a) $8 = 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3}$

b) $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^{2}$

c) $55 = 5 \cdot 11$

d) $4830$

$48302415805161231235723$

$4830 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 23$

(KOM: Istnieje tylko jeden rozkład liczby na czynniki pierwsze, a czynniki pierwsze danego rozkładu mogą być zapisane w dowolnej kolejności, bo mnożenie jest działaniem przemiennym.)

Cechy podzielności

Liczba naturalna jest podzielna przez

Liczba	Cecha podzielności
$2$	jeśli cyfrą jedności tej liczby jest $0, 2, 4, 6, 8$ .
$3$	jeśli suma cyfr tej liczby jest podzielna przez $3$ .
$4$	jeśli dwie ostatnie cyfry tej liczby są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez $4$ .
$5$	jeśli cyfrą jedności tej liczby jest $0$ lub $5$ .
$6$	jeśli jest jednocześnie podzielna przez $2$ i przez $3$ .
$8$	jeśli trzy ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę podzielną przez $8$ .
$9$	jeśli suma cyfr tej liczby jest podzielna przez $9$ .
$10$	jeśli cyfrą jedności tej liczby jest $0$ .

Szymon Zakrzyk

Nauczyciel matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.

A.	jest zawsze	podzielny przez $6$ , ponieważ	1.	wśród tych trzech liczb nie zawsze znajduje się liczba podzielna przez $6$ .
B.	nie musi być		2.	wśród tych trzech liczb jest liczba parzysta i liczba podzielna przez $3$ .
C.	nigdy nie jest		3.	zależy to od wyboru tych trzech liczb.

Liczby $48$ i $56$ mają trzy wspólne dzielniki naturalne.	P	F
Liczba $13464$ jest podzielna przez $6$ .	P	F