Definicja

Równanie kanoniczne okręgu o środku $S=\left(a,b\right)$ i promieniu $r$, gdzie $r>0$ to:
${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2$

rys"okrąg"

Przykłady: rysunki: okrąg 1, okrąg 2.

---

Przykład 1. Podaj współrzędne środka i promień okręgu o równaniu:

a) $x^2+y^2=2$ 

$S=\left(0,0\right)$, $r=\sqrt{2}$

b) ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-8\right)}^2=81$ 

$S=\left(-2,8\right)$, $r=9$

c) $x^2+{\left(y+14\right)}^2=12$ 

$S=\left(0,-14\right)$, $r=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$

---

Zadanie 1. W kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ dany jest okrąg $O$ o środku w punkcie $S=\left(3,-5\right)$. Okrąg ten jest styczny do osi $Oy$ układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg $O$ jest określony równaniem

A. ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=9$    B. ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=25$   C. ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2=9$    D. ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2=25$   

Rozwiązanie (rys.)

 $r=3$

 ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2=9$

---

 Zadanie 2. Dany jest okrąg o środku $S=\left(-3,10\right)$ i promieniu długości $5$.

Wskaż, który z poniższych punktów leży na tym okręgu. Wybierz odpowiedź spośród podanych.

A. $A=\left(0,8\right)$            B. $B=\left(6,-6\right)$           C. $C=\left(1,7\right)$           D. $A=\left(-1,6\right)$           

Rozwiązanie

Równanie tego okręgu:

${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-10\right)}^2=25$

A. ${\left(0+3\right)}^2+{\left(8-10\right)}^2\stackrel{?}{=}25$

$3^2+{\left(-2\right)}^2\stackrel{?}{=}25$

$9+4\ne 25$

B. ${\left(6+3\right)}^2+{\left(-6-10\right)}^2\stackrel{?}{=}25$

$9^2+{\left(-16\right)}^2\stackrel{?}{=}25$

$81+256\ne 25$

C. ${\left(1+3\right)}^2+{\left(7-10\right)}^2\stackrel{?}{=}25$

$4^2+{\left(-3\right)}^2\stackrel{?}{=}25$

$16+9=25$

D. ${\left(-1+3\right)}^2+{\left(6-10\right)}^2\stackrel{?}{=}25$

$2^2+{\left(-4\right)}^2\stackrel{?}{=}25$

$4+16\ne 25$

Jednym ze sposobów byłoby również naszkicowanie tego okręgu i zaznaczenie podanych punktów w tym samym układzie współrzędnych. Jednak taka metoda wymaga precyzji i jeśli np. niedokładnie naszkicujemy okrąg np. nie używając cyrkla, to może się okazać, że trudno byłoby stwierdzić, czy jakiś punkt leży na okręgu, czy nie.

---

Zadanie 3. Punkt $A=\left(-5,6\right)$ należy do okręgu o środku w punkcie $S=\left(-3,2\right)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość tego okręgu jest równa

A. $4\pi \sqrt{5}$            B. $10\pi \sqrt{2}$           C. $8\pi \sqrt{5}$           D. $4\pi \sqrt{17}$           

Rozwiązanie

$\left|AS\right|=\sqrt{{\left(-3-\left(-5\right)\right)}^2+{\left(2-6\right)}^2}=\sqrt{{\left(-3+5\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=$

$=\sqrt{2^2+16}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$

$r=2\sqrt{5}$

$L=2\pi \cdot 2\sqrt{5}=4\pi \sqrt{5}$

---

Zadanie 4. W kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ dane są dwa okręgi o równaniach: ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+6\right)}^2=36$ i ${\left(x-10\right)}^2+y^2=25$. 

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Suma długości promieni podanych okręgów wynosi $61$.	P	F
Odległość między środkami tych okręgów jest równa $10$.	P	F

Rozwiązanie

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+6\right)}^2=36$ 

 $S_1=\left(2,-6\right)$, $r_1=6$

${\left(x-10\right)}^2+y^2=25$ 

$S_2=\left(10,0\right)$, $r_2=5$

Zdanie pierwsze

$r_1+r_2=6+5=11\ne 61$

Zdanie jest fałszywe.

Zdanie drugie

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(10-2\right)}^2+{\left(0+6\right)}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ 

Zdanie jest prawdziwe.

---

Zadanie 5. W kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ dane są dwa punkty: $P=\left(-8,1\right)$, $R=\left(2,-3\right)$. Odcinek o końcach $P$ i $R$ jest średnicą okręgu $O$.

Wyznacz i zapisz równanie okręgu $O$.   

Rozwiązanie

$S=\left(\frac{-8+2}{2},\frac{1-3}{2}\right)=\left(\frac{-6}{2},\frac{-2}{2}\right)=\left(-3,-1\right)$ 

 $r=\left|SP\right|=\sqrt{{\left(-8+3\right)}^2+{\left(1+1\right)}^2}=\sqrt{{\left(-5\right)}^2+2^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$

 ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=29$