Wiemy, że podstawowy wzór na pole trójkąta to a razy h przez 2, gdzie h to wysokość padająca na podstawę długości a (ewentualnie na jej przedłużenie).

Dodatkowo pamiętamy, że wzór na pole trójkąta równobocznego to a do drugiej pierwiastek z trzech przez 2.

rys.$P=\frac{1}{2}a\cdot h=\frac{a\cdot h}{2}$                  

+ rys. i twierdzenie z równobocznym

---

powtórka z poprzedniej lekcji:

Twierdzenie

Dany jest trójkąt o bokach długości $a$, $b$ i $c$ wpisany w okrąg o promieniu $R$.
Pole takiego trójkąta opisuje wzór: $P=\frac{abc}{4R}$.

Twierdzenie

Dany jest trójkąt o bokach długości $a$, $b$ i $c$ opisany na okręgu o promieniu $r$.
Pole takiego trójkąta opisuje wzór: $P=\frac{a+b+c}{2}\cdot r$.

Jeśli $p=\frac{a+b+c}{2}$, to $P=p\cdot r$.

---

Twierdzenie 

Dany jest trójkąt $ABC$ o dwóch bokach długości $a$ i $b$ oraz kącie między tymi bokami o mierze $\gamma$. Pole takiego trójkąta można obliczyć ze wzoru:

$P=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \gamma$ 

rys.

 

Przykład 1. Oblicz pole trójkąta $ABC$, w którym $\left|AB\right|=4$, $\left|AC\right|=4\sqrt{3}$, a kąt $CAB$ ma miarę $120^{\circ }$.

rys.

$\sin 120^{\circ }=\sin \left(180^{\circ }-60^{\circ }\right)=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 

$P=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\sqrt{3}\cdot \sin 120^{\circ }=8\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\cdot 3=12$

---

Twierdzenie (wzór Herona)

Dany jest trójkąt o  bokach długości $a$, $b$ i $c$. Pole takiego trójkąta można obliczyć ze wzoru:

$P=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

gdzie $p=\frac{a+b+c}{2}$.

Przykład 2. Oblicz pole trójkąta o bokach długości $4\mathrm{cm}$, $5\mathrm{cm}$ i $7\mathrm{cm}$.

$p=\frac{4+5+7}{2}=\frac{16}{2}=8\left[\mathrm{cm}\right]$

$P=\sqrt{8\cdot \left(8-4\right)\left(8-5\right)\left(8-7\right)}=\sqrt{8\cdot 4\cdot 3\cdot 1}=\sqrt{96}=\sqrt{16\cdot 6}=4\sqrt{6}\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

---

Zadanie 1. Dany jest trójkąt o bokach długości $8\text{cm}$ i $14\mathrm{cm}$ oraz kącie miedzy nimi o mierze $30^{\circ }$.

Dokończ zdanie. Wybierz poprawną odpowiedź spośród podanych.

Pole tego trójkąta jest równe

A. $28{\mathrm{cm}}^2$                                  B.  $14\sqrt{3}{\text{cm}}^2$                                C. $28\sqrt{3}{\text{cm}}^2$                                 D. $56{\text{cm}}^2$

Rozwiązanie

$P=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 14\cdot \sin 30^{\circ }=4\cdot 14\cdot \frac{1}{2}=28\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$  

---

Zadanie 2. Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $\left|AB\right|=8$, $\left|BC\right|=6$, a $\cos \sphericalangle ABC=\frac{4}{5}$.

Oblicz pole trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia

Rozwiązanie

 Cosinus kąta $ABC$ jest dodatni, więc kąt $ABC$ jest ostry.

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1$

${\sin }^2\alpha +\frac{16}{25}=1$

${\sin }^2\alpha =\frac{25}{25}-\frac{16}{25}$

${\sin }^2\alpha =\frac{9}{25}$

$\underline{\underline{\sin \alpha =\frac{3}{5}}}\text{lub}\sin \alpha =-\frac{3}{5}$

Ale $\sin \alpha >0$, bo $\alpha \in \left(0^{\circ },90^{\circ }\right)$.

$P=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6\cdot \frac{3}{5}=4\cdot 6\cdot \frac{3}{5}=\frac{72}{5}=14\frac{2}{5}$

Odp.: Pole trójkąta $ABC$ wynosi $14\frac{2}{5}$.

---

Zadanie 3. W trójkącie równoramiennym $ABC$ o kącie między ramionami $30^{\circ }$ mamy: $\left|AC\right|=\left|BC\right|=12$. Poprowadzono wysokość $BD$ tego trójkąta, która jest opuszczona
z wierzchołka $B$ na bok $AC$.

Oblicz wysokość $BD$. Zapisz obliczenia

Rozwiązanie

$P=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 12\cdot \sin 30^{\circ }=6\cdot 12\cdot \frac{1}{2}=36$ 

$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{12\cdot h}{2}=6h$

$36=6h|:6$

$h=6$

 

 

---

Zadanie 4. Dany jest trójkąt o bokach długości $4$, $6$ i $8$, na którym opisano okrąg o promieniu $R$.

Oblicz promień $R$. Zapisz obliczenia

Rozwiązanie

$p=\frac{4+6+8}{2}=\frac{18}{2}=9$

$P=\sqrt{9\cdot \left(9-4\right)\left(9-6\right)\left(9-8\right)}=\sqrt{9\cdot 5\cdot 3\cdot 1}=3\sqrt{15}$

$R=\frac{abc}{4P}=\frac{4\cdot 6\cdot 8}{4\cdot 3\sqrt{15}}=\frac{16}{\sqrt{15}}=\frac{16\sqrt{15}}{15}$

Odp.: $R=\frac{16\sqrt{15}}{15}$