a)

$x^2+\left(m+1\right)x+3m+3>0$  

Chcemy, aby cała parabola znajdowała się nad osią OX. Zauważmy, że ramiona tej paraboli są skierowane w górę, a więc chcemy wyznaczyć takie parametry m, dla których ta parabola nie będzie mieć miejsc zerowych.

 

Innymi słowy - chcemy znaleźć takie wartości parametru m, dla których delta będzie ujemna.

 

$\Delta ={\left(m+1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(3m+3\right)=m^2+2m+1-12m-12=m^2-10m-11$  

Chcemy znaleźć takie m, aby:

$\Delta <0$  

 

$m^2-10m-11<0$  

${\Delta }_m={\left(-10\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-11\right)=100+44=144$  

$\sqrt{\Delta }=12$  

 

$m_1=\frac{10-12}{2}=-1$  

 

$m_2=\frac{10+12}{2}=11$  

Parabola m ma ramiona skierowane w górę. Naszkicujmy ją:     

Interesuje nas część paraboli znajdująca się pod osią, czyli:

$m\in \left(-1;11\right)$  

 

---

b)

$\left(m+4\right)x^2+2x+1\ge 0$  

Możemy od razu zauważyć, że dla  $m=-4$    ta nierówność nie będzie spełniana przez każdą liczbę rzeczywistą -  otrzymalibyśmy wtedy nierówność:

$2x+1\ge 0$  

Czyli możemy zapisać, że:

$m\ne -4$  

 

Chcemy, aby liczba po lewej była zawsze większa lub równa 0 - czyli  parabola musi być skierowana ramionami w górę (czyli  $m+4>0$  ) oraz wyróżnikk musi być mniejszy lub równy 0 (wtedy parabola ma co najwyżej jedno miejsce zerowe, czyli nie przechodzi przez oś OX, czyli nie przyjmuje wartości ujemnych): 

     

Aby ramiona paraboli były skierowane w górę musi zachodzić warunek:

$m+4>0$  

$m>-4$  

  

Aby parabola miała co najwyżej jedno miejsce zerowe musi zachodzić warunek:

$\Delta \le 0$   

$\Delta =2^2-4\cdot \left(m+4\right)\cdot 1=4-4m-16=-4m-12$   

 

$-4m-12\le 0\mid +4m$  

$-12\le 4m:4$  

$-3\le m$  

 

$m\in ⟨-3;\infty )$      

 

 

---

c)

$-x^2+\left(2+m\right)x-2m-1\le 0$  

 

Parabola ma ramiona skierowane w dół. Chcemy, aby żaden jej fragment nie znajdował się nad osią OX:  

 

Czyli chcemy, aby delta była mniejsza lub równa 0:

$\Delta \le 0$  

 

$\Delta ={\left(2+m\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-2m-1\right)=4+4m+m^2+4\cdot \left(-2m-1\right)=4+4m+m^2-8m-4=m^2-4m$  

$m^2-4m\le 0$  

$m\left(m-4\right)\le 0$  

Naszkicujmy wykres te paraboli:    

Parabola przyjmuje wartości niedodatnie dla 

$\underline{m\in ⟨0;4⟩}$    - czyli dla takich wartości m początkowa nierówność jest spełniana przez każdą liczbę rzeczywistą 

 

 

---

d)

$\left(m^2-4\right)x^2+2mx-1<0$  

 

Chcemy, aby parabola w całości znajdowała się pod osią OX - czyli musi mieć ona ramiona skierowane w dół, oraz nie może posiadać miejsc zerowych: 

 

Aby ramiona były skierowane w dół musi zachodzić warunek:

$m^2-4<0$  

$\left(m+2\right)\left(m-2\right)<0$  

  

Czyli m musi  należeć do przedziału:

$m\in \left(-2,2\right)$  

 

Aby parabola nie posiadała miejsc zerowych musi zachodzić warunek:

$\Delta <0$  

 

$\Delta ={\left(2m\right)}^2-4\cdot \left(m^2-4\right)\cdot \left(-1\right)=4m^2+4\left(m^2-4\right)=4m^2+4m^2-16=8m^2-16$  

$8m^2-16<0\mid :8$  

$m^2-2<0$  

$\left(m+\sqrt{2}\right)\left(m-\sqrt{2}\right)<0$  

 

$\underline{m\in \left(-\sqrt{2};\sqrt{2}\right)}$