$\left(4-m\right)x^2+\left(m-4\right)x+2=0$  

 

Wyznaczmy wartości parametru m, dla których równanie ma dwa różne rozwiązania:

$\Delta ={\left(m-4\right)}^2-4\cdot \left(4-m\right)\cdot 2=m^2-8m+16-32+8m=m^2-16$    

$\Delta >0$    

$m^2-16>0$  

$\left(m+4\right)\left(m-4\right)>0$  

Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc:

$m\in \left(-\infty ;-4\right)\cup \left(4;\infty \right)$       

 

 

Chcemy wyznaczyć takie wartości parametru m, aby zachodziła nierówność:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}>1$    

 

Do rozwiązania tego zadania skorzystamy ze wzorów Viete'a na sumę i iloczyn rozwiązań:

 

Jeśli mamy równanie kwadratowe postaci:

$y=a{x}^2+bx+c$  

To suma rozwiązań tego równania wynosi: 

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$  

Iloczyn rozwiązań jest równy:

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$      

 

 

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}>1$  

 

$\frac{x_2}{x_1{x}_2}+\frac{x_1}{x_2{x}_1}>1$  

 

$\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}>1$  

 

$x_1+x_2=-\frac{m-4}{4-m}=\frac{4-m}{4-m}=1$  

 

$x_1\cdot x_2=\frac{2}{4-m}$  

 

Podstawmy obliczone liczby do naszej nierówności:

$\frac{1}{\frac{2}{4-m}}>1$  

 

$1\cdot \frac{4-m}{2}>1$  

 

$\frac{4-m}{2}>1\mid \cdot 2$   

 

$4-m>2\mid -4$   

 

$-m>-2\mid \cdot \left(-1\right)$  

 

$m<2$                    

$m\in \left(-\infty ;2\right)$  

 

Musimy dodatkowo uwzględnić, dla jakich wartości parametru m równanie ma 2 różne rozwiązania -  czyli rozwiązaniem jest część wspólna zbiorów:

$x\in \left[\left(-\infty ;-4\right)\cup \left(4;\infty \right)\right]\cap \left(-\infty ;2\right)=\underline{\left(-\infty ;-4\right)}$