Do rozwiązania tego zadania skorzystamy z wzorów Viete'a dla równania kwadratowego:

Jeśli mamy równanie w postaci:

$a{x}^2+bx+c=0$  

To suma rozwiązań wynosi:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$  

A iloczyn rozwiązań wynosi:

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$  

 

 

Nasza funkcja ma postać:

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+x$  

 

Wiemy, że suma dwóch różnych miejsc zerowych jest równa 4 - możemy więc zapisać:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4$  

 

Suma ich odwrotności jest równa  $-\frac{1}{3}$  , a więc możemy zapisać:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac{1}{3}$  

 

$\frac{x_2}{x_1{x}_2}+\frac{x_1}{x_1{x}_2}=-\frac{1}{3}$  

 

$\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=-\frac{1}{3}$  

 

$\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac{1}{3}$  

 

$-\frac{b}{a}\cdot \frac{a}{c}=-\frac{1}{3}$  

 

$-\frac{b}{c}=-\frac{1}{3}$  

 

$\frac{b}{c}=\frac{1}{3}$   

 

Wiemy również, że f(0) = -12, możemy więc zapisać:

$a\cdot {\left(0\right)}^2+b\cdot 0+c=-12$  

$-12=c$  

 

Możemy więc obliczyć wartość b:

$\frac{b}{-12}=\frac{1}{3}\mid \cdot 12$    

$b=-4$  

 

Możemy teraz obliczyć wartość parametru a:

$-\frac{b}{a}=4$  

$-\frac{-4}{a}=4\mid \cdot a$    

$4=4a:4$  

$a=1$   

 

Czyli wzór tej funkcji wygląda następująco:

$\underline{f\left(x\right)=x^2-4x-12}$