Jeśli mamy 101 posłów, to ustawa zostanie przegłosowana, jeśli co najmniej 51 posłów odda głos "ZA".

Zapiszmy, ile jest wszystkich możliwych wyników głosowania. Głos "ZA" może oddać 0 posłów z 101, 1 poseł ze 101, 2 posłów ze 101 itd. aż do 101 posłów ze 101 (wszyscy głosują "ZA").

Liczba wszystkich możliwych wyników głosowania jest więc równa:

$\left(\begin{array}{c}101\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}101\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}101\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}101\\ 3\end{array}\right)+\dots +\left(\begin{array}{c}101\\ 99\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}101\\ 100\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}101\\ 101\end{array}\right)$  

 

Zauważmy, że możemy skorzystać ze wzoru Newtona i zapisać powyższą sumę w skróconej formie:

$\left(\begin{array}{c}101\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}101\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}101\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}101\\ 3\end{array}\right)+\dots +\left(\begin{array}{c}101\\ 99\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}101\\ 100\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}101\\ 101\end{array}\right)=$  

$=\left(\begin{array}{c}101\\ 0\end{array}\right)\cdot 1^{101}+\left(\begin{array}{c}101\\ 1\end{array}\right)\cdot 1^{100}\cdot 1+\left(\begin{array}{c}101\\ 2\end{array}\right)\cdot 1^{99}\cdot 1^2+\left(\begin{array}{c}101\\ 3\end{array}\right)\cdot 1^{98}\cdot 1^3+\dots +\left(\begin{array}{c}101\\ 99\end{array}\right)\cdot 1^2\cdot 1^{99}+\left(\begin{array}{c}101\\ 100\end{array}\right)\cdot 1\cdot 1^{100}+\left(\begin{array}{c}101\\ 101\end{array}\right)\cdot 1^{100}={\left(1+1\right)}^{101}=2^{101}$  

 

Tak jak zauważyliśmy na początku, ustawa zostanie przegłosowana, jeśli co najmniej 51 posłów odda głos "ZA". Liczba sposobów takiego głosowania jest równa:

$\left(\begin{array}{c}101\\ 51\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}101\\ 52\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}101\\ 3\end{array}\right)+\dots +\left(\begin{array}{c}101\\ 99\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}101\\ 100\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}101\\ 101\end{array}\right)$