II gimnazjum

Matematyka z plusem 2

Rozwiązanie 1

Widzimy na rysunku, że trójkąt o ramionach długości b,d,e jest prostokątny o przyprostokątnych b i d oraz przeciwprostokątnej e. Wynika to z tego, że b jest wysokością ostrosłupa, zatem jest pod kątem prostym do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. Zatem na podstawie tw. Pitagorasa równość  b2+d2=e2 jest prawdziwa. Widzimy na rysunku, że trójkąt o ramionach długości 2a​,c,e

W podstawie ostrosłupa mamy prostokąt o bokach długości 6 i 8. Skoro każda ze ścian bocznych ostrosłupa jest trójkątem równoramiennym, stąd wiemy, że spodek wysokości ostrosłupa leży na przecięciu przekątnych prostokąta o bokach długości 6 i 8, który jest w podstawie ostrosłupa. Przekątne w prostokącie są równej długości i przecinają się w połowie długości. Łatwo zauważyć, iż wysokość ostrosułpa H oraz krawędź boczna ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości H i 2d​   (gdzie d jest przekątną prostokąta z podstawy ostrosłupa) i przeciwprostokątnej długości 10. Zatem z tw. Pitagorasa mamy H2+(2d​)2=102 Wystarczy wyznaczyć jednak d - przekątną prostokąta o bokach długości 6 i 8. Korzystamy z tw. Pitagorasa d2=62+82=36+64=100

Wiemy, że każda ze ścian bocznych ostrosłupa jest trójkątem równoramiennym o podstawie 23<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​   oraz ramionach, których długość oznaczymy jako b (b jest także długością krawędzi bocznej ostrosłupa). Mamy podaną wysokość ostrosłupa H=7 . W podstawie ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości a=23<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​. Z tw. Pitagorasa możemy policzyć b,   ponieważ b   jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych H

Mamy ostrosłup prawidłowy, w którego podstawie jest kwadrat o boku a=8cm. Krawędź boczna ostrosłupa ma długość b=9cm. Aby policzyć objętość ostrosłupa, trzeba policzyć wysokość ostrosłupa, którą oznaczymy jako H. Wiemy, że wysokość H wraz z krawędzią boczną b tworzy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości b oraz przyprostokątnych długości H oraz 2d​ , gdzie d jest przekątną podstawy ostrosłupa. Zatem z tw. Pitagorasa mamy b2=H2+(2d​)2 Policzmy napierw 2d​

Policzmy pole narysowanego poniżej przekroju. Jego pole, to pole prostokąta o wymiarach 12 x d, gdzie d   jest przekątną kwadratu o boku a=5. Policzmy długość d