Matematyka

Autorzy:M. Braun, J. Lech

Wydawnictwo:GWO

Rok wydania:2008

Oblicz pola zacieniowanych obszarów 4.54 gwiazdek na podstawie 13 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

a) Pole zacieniowanego obszaru, to `1/3`  obszaru powstałego z wycięcia trójąta równobocznego z narysowanego koła. Mamy zatem

`P_(x)=1/3(P_(k)-P_(t))` , gdzie`P_(k)`  jest polem koła, a `P_(t)`  polem trójkąta równobocznego.

Mamy `a=6` . Przez h oznaczmy wysokość trójkąta równobocznego. Zatem promień okręgu opisanego na trójkącie możemy łatwo policzyć

`R=2/3h=2/3*(asqrt(3))/2=(asqrt(3))/3=(6sqrt(3))/3=2sqrt(3)`

 Teraz liczymy pole koła

`P_(k)=piR^2=pi(2sqrt(3))^2=12pi` 

Teraz liczymy pole trójkąta

`P_(t)=(a^2sqrt(3))/4=(36sqrt(3))/4=9sqrt(3)`

`P_(x)=1/3(12pi-9sqrt(3))=4pi-3sqrt(3)`

b)

 Pole zacieniowanego obszaru, to `1/3`  obszaru powstałego z wycięcia koła z narysowanego trójkąta równobocznego. Mamy zatem

`P_(x)=1/3(P_(t)-P_(k))` , gdzie`P_(k)`  jest polem koła, a `P_(t)`  polem trójkąta równobocznego.

Mamy `a=6` . Przez h oznaczmy wysokość trójkąta równobocznego. Zatem promień okręgu wpisanego w trójkąt  możemy łatwo policzyć

`r=1/3h=1/3*(asqrt(3))/2=(asqrt(3))/6=(6sqrt(3))/6=sqrt(3)`

 Teraz liczymy pole koła

`P_(k)=pir^2=pi(sqrt(3))^2=3pi` 

Teraz liczymy pole trójkąta

`P_(t)=(a^2sqrt(3))/4=(36sqrt(3))/4=9sqrt(3)`

`P_(x)=1/3(9sqrt(3)-3pi)=3sqrt(3)-pi`

 c) Pole zacieniowanego obszaru to różnica w polach kół wyznaczonych przez dwa okręgi  - opisany na kwadracie oraz wpisany w kwadrat.

Mamy `P_(x)=P_(1)-P_(2), ` gdzie `P_(1) ` jest polem koła opisanego na kwadracie, a `P_(2)`  polem koła wpisanego w kwadrat.

Obliczmy R - promień okręgu opisanego na kwadracie. Niech d będzie przekątną kwadratu o boku a=4.

`R=1/2d=1/2asqrt(2)=1/2*4sqrt(2)=2sqrt(2)`

Zatem `P_(1)=piR^2=pi(2sqrt(2))^2=8pi`

Obliczmy r - promień okręgu wpisanego w kwadrat.

`r=1/2a=1/2*4=2`

Zatem `P_(2)=pir^2=pi2^2=4pi`

`P_(x)=8pi-4pi=4pi`

d) Mamy

` P_(x)=P_(1)+1/3(P_(k)-P_(sz))` , gdzie `P_(1)`  jest polem narysowanego trójkąta równoramiennego o ramionach długości a, `P_(k) ` jest polem koła, które jest wyznaczone przez okrąg opisany na sześciokącie foremnym, `P_(sz)`  jest polem sześciokąta foremnego.

Promień okręgu opisanego na sześciokacie ma miarę `R=a=3` . Mamy zatem

`P_(k)=piR^2=pi3^2=9pi`

Pole sześciokąta foremnego o boku a jest sumą pól sześciu trójkątów równobocznych o boku a. Mamy zatem

`P_(sz)=6*(a^2sqrt(3))/4=6*(9sqrt(3))/4=(27sqrt(3))/2`

Pozostaje jeszcze policzyć `P_(1)` . Jest to pole trójkąta równoramiennego o ramionach długości 3 i kącie przy wierzchołku 120 stopni.

Narysujmy wysokość tego trójkąta poprowadzoną do podstawy i nazwijmy ją h. Dzieli ona trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne o kątach ostrych 60 i 30 stopni. Z własności takiego trójkata prostokątnego wiemy, że wysokość h ma miarę `1/2*3=1,5` , natomiast połowa podstawy trójkata równoramiennego ma miarę `1,5sqrt(3), ` czyli podstawa ma długość `3 sqrt(3).`  Liczymy pole trójkąta

`P_(1)=1/2(3sqrt(3))*3/2=9/4sqrt(3)`

Liczymy

` ``P_(x)=P_(1)+1/3(P_(k)-P_(sz))=9/4sqrt(3)+1/3(9pi-27/2sqrt(3))`

`P_(x)=9/4sqrt(3)+3pi-9/2sqrt(3)`

`P_(x)=9/4sqrt(3)+3pi-18/4sqrt(3)=3pi-9/4sqrt(3)`

` ` 

Odpowiedź:

a) `4pi-3sqrt(3)`

b) `3sqrt(3)-pi`

c) `4pi`

d) `3pi-9/4sqrt(3)`