Matematyka

Matematyka z plusem 2 (Zbiór zadań, GWO)

Oblicz pola zacieniowanych obszarów 4.54 gwiazdek na podstawie 13 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka
UWAGA! Oglądasz stare wydanie książki. Kliknij tutaj, aby zobaczyć najnowsze.

a) Pole zacieniowanego obszaru, to `1/3`  obszaru powstałego z wycięcia trójąta równobocznego z narysowanego koła. Mamy zatem

`P_(x)=1/3(P_(k)-P_(t))` , gdzie`P_(k)`  jest polem koła, a `P_(t)`  polem trójkąta równobocznego.

Mamy `a=6` . Przez h oznaczmy wysokość trójkąta równobocznego. Zatem promień okręgu opisanego na trójkącie możemy łatwo policzyć

`R=2/3h=2/3*(asqrt(3))/2=(asqrt(3))/3=(6sqrt(3))/3=2sqrt(3)`

 Teraz liczymy pole koła

`P_(k)=piR^2=pi(2sqrt(3))^2=12pi` 

Teraz liczymy pole trójkąta

`P_(t)=(a^2sqrt(3))/4=(36sqrt(3))/4=9sqrt(3)`

`P_(x)=1/3(12pi-9sqrt(3))=4pi-3sqrt(3)`

b)

 Pole zacieniowanego obszaru, to `1/3`  obszaru powstałego z wycięcia koła z narysowanego trójkąta równobocznego. Mamy zatem

`P_(x)=1/3(P_(t)-P_(k))` , gdzie`P_(k)`  jest polem koła, a `P_(t)`  polem trójkąta równobocznego.

Mamy `a=6` . Przez h oznaczmy wysokość trójkąta równobocznego. Zatem promień okręgu wpisanego w trójkąt  możemy łatwo policzyć

`r=1/3h=1/3*(asqrt(3))/2=(asqrt(3))/6=(6sqrt(3))/6=sqrt(3)`

 Teraz liczymy pole koła

`P_(k)=pir^2=pi(sqrt(3))^2=3pi` 

Teraz liczymy pole trójkąta

`P_(t)=(a^2sqrt(3))/4=(36sqrt(3))/4=9sqrt(3)`

`P_(x)=1/3(9sqrt(3)-3pi)=3sqrt(3)-pi`

 c) Pole zacieniowanego obszaru to różnica w polach kół wyznaczonych przez dwa okręgi  - opisany na kwadracie oraz wpisany w kwadrat.

Mamy `P_(x)=P_(1)-P_(2), ` gdzie `P_(1) ` jest polem koła opisanego na kwadracie, a `P_(2)`  polem koła wpisanego w kwadrat.

Obliczmy R - promień okręgu opisanego na kwadracie. Niech d będzie przekątną kwadratu o boku a=4.

`R=1/2d=1/2asqrt(2)=1/2*4sqrt(2)=2sqrt(2)`

Zatem `P_(1)=piR^2=pi(2sqrt(2))^2=8pi`

Obliczmy r - promień okręgu wpisanego w kwadrat.

`r=1/2a=1/2*4=2`

Zatem `P_(2)=pir^2=pi2^2=4pi`

`P_(x)=8pi-4pi=4pi`

d) Mamy

` P_(x)=P_(1)+1/3(P_(k)-P_(sz))` , gdzie `P_(1)`  jest polem narysowanego trójkąta równoramiennego o ramionach długości a, `P_(k) ` jest polem koła, które jest wyznaczone przez okrąg opisany na sześciokącie foremnym, `P_(sz)`  jest polem sześciokąta foremnego.

Promień okręgu opisanego na sześciokacie ma miarę `R=a=3` . Mamy zatem

`P_(k)=piR^2=pi3^2=9pi`

Pole sześciokąta foremnego o boku a jest sumą pól sześciu trójkątów równobocznych o boku a. Mamy zatem

`P_(sz)=6*(a^2sqrt(3))/4=6*(9sqrt(3))/4=(27sqrt(3))/2`

Pozostaje jeszcze policzyć `P_(1)` . Jest to pole trójkąta równoramiennego o ramionach długości 3 i kącie przy wierzchołku 120 stopni.

Narysujmy wysokość tego trójkąta poprowadzoną do podstawy i nazwijmy ją h. Dzieli ona trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne o kątach ostrych 60 i 30 stopni. Z własności takiego trójkata prostokątnego wiemy, że wysokość h ma miarę `1/2*3=1,5` , natomiast połowa podstawy trójkata równoramiennego ma miarę `1,5sqrt(3), ` czyli podstawa ma długość `3 sqrt(3).`  Liczymy pole trójkąta

`P_(1)=1/2(3sqrt(3))*3/2=9/4sqrt(3)`

Liczymy

` ``P_(x)=P_(1)+1/3(P_(k)-P_(sz))=9/4sqrt(3)+1/3(9pi-27/2sqrt(3))`

`P_(x)=9/4sqrt(3)+3pi-9/2sqrt(3)`

`P_(x)=9/4sqrt(3)+3pi-18/4sqrt(3)=3pi-9/4sqrt(3)`

` ` 

Odpowiedź:

a) `4pi-3sqrt(3)`

b) `3sqrt(3)-pi`

c) `4pi`

d) `3pi-9/4sqrt(3)`

 

DYSKUSJA
user profile image
Pablo

19 grudnia 2017
dzięki
user profile image
Aleksander

13 listopada 2017
Dzięki za pomoc :)
Informacje
Autorzy: M. Braun, J. Lech
Wydawnictwo: GWO
Rok wydania:
ISBN: 9788374201711
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Liczby mieszane i ich zamiana na ułamek niewłaściwy
ulamek

Liczba mieszana jest to suma dwóch składników, z których jeden jest liczbą naturalną (składnik całkowity), a drugi ułamkiem zwykłym właściwym (składnik ułamkowy).

$$4 1/9= 4 + 1/9 $$ ← liczbę mieszana zapisujemy bez użycia znaku dodawania +.

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: mianownik składnika ułamkowego mnożymy przez składnik całkowity i do tego iloczynu dodajemy licznik składnika ułamkowego. Mianownik natomiast jest równy mianownikowi składnika ułamkowego.

Przykład:

$$3 1/4= {3•4+1}/4= {13}/4$$
 
Porównywanie ułamków dziesiętnych

Aby ustalić, który z dwóch ułamków dziesiętnych jest większy, wystarczy porównać kolejno rzędy, zaczynając od najwyższego. Oznacza to, że porównujemy kolejno cyfry z których zbudowany jest ułamek dziesiętny, czyli zaczynamy od cyfr części całkowitej, a później przechodzimy to porównywania cyfr części dziesiętnych.

W praktyce porównywanie ułamków dziesiętnych odbywa się następująco:
  • Najpierw porównujemy części całkowite, jeżeli nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części całkowitej;

  • Jeżeli obie części całkowite są równe, to porównujemy ich części dziesiętne. Jeżeli części dziesiętne nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części dziesiętnej;

  • Gdy części dziesiętne są równe, to porównujemy ich części setne, tysięczne itd., aż do uzyskania odpowiedzi.

  Zapamiętaj

Gdy na końcu ułamka dziesiętnego dopisujemy lub pomijamy zero, to jego wartość się nie zmienia.

Przykłady:
$$0,34=0,340=0,3400=0,34000=...$$
$$0,5600=0,560=0,56$$

W związku z powyższą uwagą, jeżeli w czasie porównywania ułamków w którymś zabraknie cyfr po przecinku, to należy dopisać odpowiednią liczbę zer.
 

Przykład: Porównajmy ułamki 5,25 i 5,23.
Przed porównywaniem ułamków wygodnie jest zapisać porównywane liczby jedna pod drugą, ale tak by zgadzały się rzędy, czyli przecinek pod przecinkiem.

porownanie1
Widzimy, że w porównywanych ułamkach części jedności są takie same, części dziesiętne także są równe, natomiast w rzędzie części setnych 5>3, zatem ułamek 5,25 jest większy od 5,23. Zatem 5,25>5,23.

Przykład: Porównajmy ułamki 0,8 i 0,81.
Zapisujemy ułamki jeden pod drugim, tak aby zgadzały się rzędy, czyli przecinek pod przecinkiem. Ponadto dopisujemy 0 w ułamku 0,8.

porownanie2

Widzimy, że w porównywanych ułamkach części jedności są takie same, części dziesiętne także są równe, natomiast w rzędzie części setnych 0<1, zatem ułamek 0,81 jest większy od 0,8. Zatem 0,81>0,8.

Zobacz także
Udostępnij zadanie