Matematyka

Oblicz pola zacieniowanych obszarów 4.54 gwiazdek na podstawie 13 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

a) Pole zacieniowanego obszaru, to `1/3`  obszaru powstałego z wycięcia trójąta równobocznego z narysowanego koła. Mamy zatem

`P_(x)=1/3(P_(k)-P_(t))` , gdzie`P_(k)`  jest polem koła, a `P_(t)`  polem trójkąta równobocznego.

Mamy `a=6` . Przez h oznaczmy wysokość trójkąta równobocznego. Zatem promień okręgu opisanego na trójkącie możemy łatwo policzyć

`R=2/3h=2/3*(asqrt(3))/2=(asqrt(3))/3=(6sqrt(3))/3=2sqrt(3)`

 Teraz liczymy pole koła

`P_(k)=piR^2=pi(2sqrt(3))^2=12pi` 

Teraz liczymy pole trójkąta

`P_(t)=(a^2sqrt(3))/4=(36sqrt(3))/4=9sqrt(3)`

`P_(x)=1/3(12pi-9sqrt(3))=4pi-3sqrt(3)`

b)

 Pole zacieniowanego obszaru, to `1/3`  obszaru powstałego z wycięcia koła z narysowanego trójkąta równobocznego. Mamy zatem

`P_(x)=1/3(P_(t)-P_(k))` , gdzie`P_(k)`  jest polem koła, a `P_(t)`  polem trójkąta równobocznego.

Mamy `a=6` . Przez h oznaczmy wysokość trójkąta równobocznego. Zatem promień okręgu wpisanego w trójkąt  możemy łatwo policzyć

`r=1/3h=1/3*(asqrt(3))/2=(asqrt(3))/6=(6sqrt(3))/6=sqrt(3)`

 Teraz liczymy pole koła

`P_(k)=pir^2=pi(sqrt(3))^2=3pi` 

Teraz liczymy pole trójkąta

`P_(t)=(a^2sqrt(3))/4=(36sqrt(3))/4=9sqrt(3)`

`P_(x)=1/3(9sqrt(3)-3pi)=3sqrt(3)-pi`

 c) Pole zacieniowanego obszaru to różnica w polach kół wyznaczonych przez dwa okręgi  - opisany na kwadracie oraz wpisany w kwadrat.

Mamy `P_(x)=P_(1)-P_(2), ` gdzie `P_(1) ` jest polem koła opisanego na kwadracie, a `P_(2)`  polem koła wpisanego w kwadrat.

Obliczmy R - promień okręgu opisanego na kwadracie. Niech d będzie przekątną kwadratu o boku a=4.

`R=1/2d=1/2asqrt(2)=1/2*4sqrt(2)=2sqrt(2)`

Zatem `P_(1)=piR^2=pi(2sqrt(2))^2=8pi`

Obliczmy r - promień okręgu wpisanego w kwadrat.

`r=1/2a=1/2*4=2`

Zatem `P_(2)=pir^2=pi2^2=4pi`

`P_(x)=8pi-4pi=4pi`

d) Mamy

` P_(x)=P_(1)+1/3(P_(k)-P_(sz))` , gdzie `P_(1)`  jest polem narysowanego trójkąta równoramiennego o ramionach długości a, `P_(k) ` jest polem koła, które jest wyznaczone przez okrąg opisany na sześciokącie foremnym, `P_(sz)`  jest polem sześciokąta foremnego.

Promień okręgu opisanego na sześciokacie ma miarę `R=a=3` . Mamy zatem

`P_(k)=piR^2=pi3^2=9pi`

Pole sześciokąta foremnego o boku a jest sumą pól sześciu trójkątów równobocznych o boku a. Mamy zatem

`P_(sz)=6*(a^2sqrt(3))/4=6*(9sqrt(3))/4=(27sqrt(3))/2`

Pozostaje jeszcze policzyć `P_(1)` . Jest to pole trójkąta równoramiennego o ramionach długości 3 i kącie przy wierzchołku 120 stopni.

Narysujmy wysokość tego trójkąta poprowadzoną do podstawy i nazwijmy ją h. Dzieli ona trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne o kątach ostrych 60 i 30 stopni. Z własności takiego trójkata prostokątnego wiemy, że wysokość h ma miarę `1/2*3=1,5` , natomiast połowa podstawy trójkata równoramiennego ma miarę `1,5sqrt(3), ` czyli podstawa ma długość `3 sqrt(3).`  Liczymy pole trójkąta

`P_(1)=1/2(3sqrt(3))*3/2=9/4sqrt(3)`

Liczymy

` ``P_(x)=P_(1)+1/3(P_(k)-P_(sz))=9/4sqrt(3)+1/3(9pi-27/2sqrt(3))`

`P_(x)=9/4sqrt(3)+3pi-9/2sqrt(3)`

`P_(x)=9/4sqrt(3)+3pi-18/4sqrt(3)=3pi-9/4sqrt(3)`

` ` 

Odpowiedź:

a) `4pi-3sqrt(3)`

b) `3sqrt(3)-pi`

c) `4pi`

d) `3pi-9/4sqrt(3)`

 

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka z plusem 2
Autorzy: M. Braun, J. Lech
Wydawnictwo: GWO
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Wzajemne położenie prostych

Dwie proste mogą się przecinać w punkcie, mogą być do siebie prostopadłe lub równoległe.

  1. Proste przecinające się w punkcie P – proste mające jeden punkt wspólny.

    prosteprzecinajace
     
  2. Proste prostopadłe – to proste przecinające się pod kątem prostym.

    Jeśli proste a i b są prostopadłe (inaczej mówiąc prosta a jest prostopadła do prostej b), zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a⊥b$$. Dwie proste prostopadłe tworzą cztery kąty proste

    prostekatprosty
     
  3. Proste równoległe – to proste nie mające punktów wspólnych lub pokrywające się.

    Jeżeli proste a i b są równoległe (inaczej mówiąc prosta a jest równoległa do prostej b), to zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a∥b$$.
     

    proste-rownlegle
Obwód

Obwód wielokąta to suma długości boków danego wielokąta.

  1. Obwód prostokąta – dodajemy długości dwóch dłuższych boków i dwóch krótszych.

    Zatem prostokąt o wymiarach a i b ma obwód równy:
    Obwód prostokąta: $$Ob = 2•a+ 2•b$$.

    Przykład: Policzmy obwód prostokąta, którego boki mają długości 6 cm i 8 cm.

    ob_kwadrat

    $$Ob=2•8cm+2•6cm=16cm+12cm=28cm$$
     

  2. Obwód kwadratu – dodajemy długości czterech identycznych boków, zatem wystarczy pomnożyć długość boku przez cztery.

    Zatem kwadrat o boku długości a ma obwód równy:
    Obwód kwadratu: $$Ob = 4•a$$.

    Przykład: Policzmy obwód kwadratu o boku długości 12 cm.

    ob_prostokat

    $$Ob=4•12cm=48cm$$

 
Zobacz także
Udostępnij zadanie