Oznaczmy długość boku ośmiokąta foremnego jako a=4cm.

a) Widzimy, iż trójkąt APH jest trójkątem równoramiennym. Kąt pomiędzy ramionami PH i PA ma miarę 90 stopni, zatem trójkąt PHA jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o podstawie a. Przez x oznaczmy szukaną długość odcinka PA.

Korzystając z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 45 i 45 stopni mamy

$a=x\sqrt{2}$

Zatem $x=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

Czyli $x=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}cm$

b) Promień okręgu wpisanego w ośmiokąt foremny ma taką samą długość co wysokość trójkątów równoramiennych jakie tworzą ten ośmiokąt (jest ich osiem). Na rysunek nanieśliśmy wszystkie potrzebne dane. Z podpunktu a) wiemy, iż odcinek DS ma długość $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ . Ponadto wysokość trójkąta równoramiennego dzieli jego podstawę na połowę. Zatem widzimy poniższą zależność

$r=\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}a=a\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=a\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)$