Rysunek przedstawia ośmiokąt foremny ABCDEFGH o boku 4 cm - Zadanie 38: Matematyka z plusem 2 - strona 68
Matematyka
Wybierz książkę
Rysunek przedstawia ośmiokąt foremny ABCDEFGH o boku 4 cm 4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Rysunek przedstawia ośmiokąt foremny ABCDEFGH o boku 4 cm

38
 Zadanie

1
 Zadanie
2
 Zadanie
3
 Zadanie
4
 Zadanie
UWAGA! Oglądasz stare wydanie książki. Kliknij tutaj, aby zobaczyć najnowsze.

Oznaczmy długość boku ośmiokąta foremnego jako a=4cm.

a) Widzimy, iż trójkąt APH jest trójkątem równoramiennym. Kąt pomiędzy ramionami PH i PA ma miarę 90 stopni, zatem trójkąt PHA jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o podstawie a. Przez x oznaczmy szukaną długość odcinka PA.

Korzystając z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 45 i 45 stopni mamy

Zatem

Czyli

 

b) Promień okręgu wpisanego w ośmiokąt foremny ma taką samą długość co wysokość trójkątów równoramiennych jakie tworzą ten ośmiokąt (jest ich osiem). Na rysunek nanieśliśmy wszystkie potrzebne dane. Z podpunktu a) wiemy, iż odcinek DS ma długość . Ponadto wysokość trójkąta równoramiennego dzieli jego podstawę na połowę. Zatem widzimy poniższą zależność

 

c) Promień okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym ma taką samą długość co ramię trójkątów równoramiennych, jakie tworzą ten ośmiokąt (jest ich osiem).  Na rysunku wprowadziliśmy dodatkowe pomocnicze oznaczenia odcinków x,y,a,b. Wiemy, iż kąt przy wierzchołku takiego jednego trójkąta równoramiennego ma miarę 45 stopni (360:8=45), stąd miara kąta HOF wynosi 90 stopni. Zatem trójkąta HOF jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o ramionach długości R. Ponadto odcinek FH dzieli trójkąt FHO na dwa trójkąty prostokątne.

Z tw. Pitagorasa mamy następujące zależności

1.

2.

Ponadto widzimy , zatem

3.

Wiemy, iż trójkąt HOF jest prostokątny o kątach ostrych 45 i 45 stopni, stąd z własności tego trójkąta wiemy, iż

czyli

4. 

Zaczynamy obliczenia od własności 2.

Teraz korzystamy podstawiamy b korzystając z własności 4.

  

Zatem

 

Teraz wracamy do zależności 3 i podstawiamy do niej za y, to co nam wyszło powyżej

Następnie korzystamy z własności 1. podstawiając za x, to zo nam wyszło powyżej oraz za b zależność 4. Mamy

 

  

Zatem teraz liczymy R

Wiemy, że a=4cm, czyli

DYSKUSJA
opinia do odpowiedzi undefined
Róża

23 maja 2018
dzięki :):)
klasa:
II gimnazjum
Informacje
Autorzy: M. Braun, J. Lech
Wydawnictwo: GWO
Rok wydania:
ISBN: 9788374201711
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Dzielenie potęg

W tym wypadku jest prawie identycznie jak przy mnożeniu potęg, musimy także spełnić warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Jedyna różnica to fakt, że odejmujemy, zamiast dodawać potęgi jak przykładzie:

  • $5^2÷5^4÷5^{-5}=5^{2-4-{(-5)} }=5^{2-4+5}=5^3=125$
Tworzenie nowych podstaw

Jeżeli w przykładzie (często to się zdarza) podane nie będą potęgi o tych samych wykładnikach, musimy je znaleźć.

Jedyny wymóg to zapamiętanie tzw. potęg złożonych czyli:

  • $4=2^2$
  • $27=3^3$


Przykład:

$8^3÷2^10×16^2÷4^3$

Każda z tych liczb w podstawie to potęga dwójki, pokażmy to:

${(2^3)}^3÷2^10×{(2^4)}^2÷{(2^2)}^3$

Teraz użyjmy potęgowania potęg:

$2^9÷2^10×2^8÷2^6$

I mnożymy oraz dzielimy:

$2^{9-10+8-6}=2^1=2$
 
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom