Oznaczmy długość boku ośmiokąta foremnego jako a=4cm.

a) Widzimy, iż trójkąt APH jest trójkątem równoramiennym. Kąt pomiędzy ramionami PH i PA ma miarę 90 stopni, zatem trójkąt PHA jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o podstawie a. Przez x oznaczmy szukaną długość odcinka PA.

Korzystając z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 45 i 45 stopni mamy

$a=x\sqrt{2}$

Zatem $x=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

Czyli $x=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}cm$

 

b) Promień okręgu wpisanego w ośmiokąt foremny ma taką samą długość co wysokość trójkątów równoramiennych jakie tworzą ten ośmiokąt (jest ich osiem). Na rysunek nanieśliśmy wszystkie potrzebne dane. Z podpunktu a) wiemy, iż odcinek DS ma długość $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ . Ponadto wysokość trójkąta równoramiennego dzieli jego podstawę na połowę. Zatem widzimy poniższą zależność

$r=\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}a=a\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=a\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)$

$a=4\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)=2\left(1+\sqrt{2}\right)cm$

 

c) Promień okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym ma taką samą długość co ramię trójkątów równoramiennych, jakie tworzą ten ośmiokąt (jest ich osiem).  Na rysunku wprowadziliśmy dodatkowe pomocnicze oznaczenia odcinków x,y,a,b. Wiemy, iż kąt przy wierzchołku takiego jednego trójkąta równoramiennego ma miarę 45 stopni (360:8=45), stąd miara kąta HOF wynosi 90 stopni. Zatem trójkąta HOF jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o ramionach długości R. Ponadto odcinek FH dzieli trójkąt FHO na dwa trójkąty prostokątne.

Z tw. Pitagorasa mamy następujące zależności

1. $a^2=x^2+b^2$

2. $R^2=y^2+b^2$

Ponadto widzimy $R=x+y$ , zatem

3. $x=R-y$

Wiemy, iż trójkąt HOF jest prostokątny o kątach ostrych 45 i 45 stopni, stąd z własności tego trójkąta wiemy, iż

$2b=R\sqrt{2},$ czyli

4.  $b=\frac{R\sqrt{2}}{2}$

Zaczynamy obliczenia od własności 2.

$y^2+b^2=R^2$

$y^2=R^2-b^2$

Teraz korzystamy podstawiamy b korzystając z własności 4.

$y^2=R^2-{\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)}^2=R^2-\frac{1}{2}{R}^2=\frac{1}{2}{R}^2$   

Zatem $y=\sqrt{\frac{1}{2}R}=\frac{\sqrt{2}}{2}R$

 

Teraz wracamy do zależności 3 i podstawiamy do niej za y, to co nam wyszło powyżej

$x=R-y=R-\frac{\sqrt{2}}{2}R=\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)R$

Następnie korzystamy z własności 1. podstawiając za x, to zo nam wyszło powyżej oraz za b zależność 4. Mamy

$a^2=x^2+b^2={\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2{R}^2+\left(\frac{R^2\cdot 2}{4}\right)$  

$a^2=\left(1-\sqrt{2}+\frac{1}{2}\right)R^2+\frac{1}{2}{R}^2$   

$a^2=2R^2-\sqrt{2}{R}^2=\left(2-\sqrt{2}\right)R^2$

Zatem teraz liczymy R

$R^2=\frac{a^2}{2-\sqrt{2}}=a^2\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)$

$R=a\cdot \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$

Wiemy, że a=4cm, czyli

$R=4\cdot \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}cm$