a)

Mamy R=4 cm. Najdłuższa i najkrótsza przekątna są oznaczone na czerwono.

Zauważmy, że najdłuższa przekątna ośmiokąta jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie, zatem $e=2R=8cm.$

Zauważmy, iż osmiokąt foremny składa się z ośmiu trójątów równoramiennych o kącie przy wierzchołku miary 45 stopni (45=360:8). Zatem najkrósza przekątna ośmiokąta jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego o ramionach długości R. Mamy zatem $f=R\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ .

b) Policzmy najpierw najktótszą i nadłuższą przekątną ośmiokąta foremnego. Mamy a =1 cm . Wiemy, iż promień okreu opisanego na ośmiokącie foremnym wyraża się wzorem $R=a\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$ $R=a\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$ . Zatem $R=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$ . Z części a zadania wiemy, że $e=2R$ , stąd $e=2\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}cm$ .

Dalej wiemy, że długość najktótszek przekątnej ośmiokąta foremnego ma miarę $f=R\sqrt{2}=\sqrt{2}\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2+\sqrt{2}}cm$

 Teraz pliczmy długość trzeciej przekątnej ośmiokąta foremnego. Jest to odcinek GD. Zauważmy, iż trójąty GFI oraz DEJ są prostokątne i równoramienne, zatem długość ich ramion ma miarę $\frac{a}{\sqrt{2}}.$ Zatem $\left|GD\right|=2\cdot \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)+a=\sqrt{2}a+a=\left(\sqrt{2}+1\right)cm$