II gimnazjum

Matematyka z plusem 2

Matematyka

Liczy się matematyka 2

Matematyka 2001

Matematyka 2001. Zeszyt ćwiczeń cz. 1 

Matematyka 2001. Zeszyt ćwiczeń cz. 2

Matematyka 2. Ćwiczenia podstawowe

Matematyka 2. Zeszyt zadań

Matematyka na czasie! 2

Matematyka wokół nas 2

Matematyka wokół nas 2. Zeszyt ćwiczeń cz. 1

Matematyka wokół nas 2. Zeszyt ćwiczeń cz. 2

Matematyka z plusem 2 

Policzmy to razem 2

a)
Mamy R=4 cm. Najdłuższa i najkrótsza przekątna są oznaczone na czerwono.
Zauważmy, że najdłuższa przekątna ośmiokąta jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie, zatem <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/d52a7e94-ba13-4826-86b4-4bef4bba03b6_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
Zauważmy, iż osmiokąt foremny składa się z ośmiu trójątów równoramiennych o kącie przy wierzchołku miary 45 stopni (45=360:8). Zatem najkrósza przekątna ośmiokąta jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego o ramionach długości R. Mamy zatem <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/b7b57b07-715c-4578-8554-f3ac1f3f54af_small.svg" type="image/svg+xml"></object> .
<img src="../../../sites/default/files/29a.JPG" width="273" height="256">
 
b) Policzmy najpierw najktótszą i nadłuższą przekątną ośmiokąta foremnego. Mamy a =1 cm . Wiemy, iż promień okreu opisanego na ośmiokącie foremnym wyraża się wzorem <object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/aa4185d5-b51b-4524-a508-0efb40592ecb_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

a) Rozważmy okrąg opisany na kwadracie o boku a. Wówczaa środek okręgu leży na przecięciu przekątnych kwadratu. Mamy <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/1663131d-809d-4538-a890-512e2948029e_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  Zatem
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/1bc064b8-66e3-4de1-9466-66b58a88175e_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/1bc064b8-66e3-4de1-9466-66b58a88175e_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Aby policzyć obwód sześciokąta, należy najpierw obliczyć długość jego boku. Wiemy, iż promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/272fee4e-fcd0-4aab-9745-66021ed669e0_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
Jak widać z rysunku jego długość jest równa długości wysokości jednego z sześciu trójkątów równobocznych, z którym składa się sześciokąt.
Mamy zatem <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/4395bc72-2624-498d-916a-4e42300d1f57_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Aby policzyć ple trójkąta, najpierw musimy policzyć długosć jego boku.
Promień okręgu wpisanego w trójąt równoboczny ma miarę równą <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/0a92d5c9-5912-4017-a0e9-6f6fa56ff337_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  wysokości tego trójkąta. Zatem
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/6c23172a-dcf4-4519-92c4-6d1e0b81e2bd_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

a) Aby policzyć obwód sześciokąta foremnego, należy najpierw policzyć długość jego boku. Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym ma długość taką samą jak długość boku sześciokąta . Zatem <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/4aaec154-3d67-4672-9b89-1b3444505fe3_small.svg" type="image/svg+xml"></object> .
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/aa40e1ee-6e02-4fb7-aca6-076a046777ca_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<img src="../../../sites/default/files/33.JPG" width="227" height="224">
b)Aby policzyć obwód kwadratu, należy najpierw policzyć długość jego boku. Promień okręgu opisanego na kwadracie ma długość taką samą jak długość połowy przekątnej kwadratu oraz <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/e3a29569-7215-49cc-b396-809e1166a53b_small.svg" type="image/svg+xml"></object> Mamy zatem
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/72503096-629f-42c5-a250-a06a7f90ffbf_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/7cccf8bf-0bbf-4665-8656-4fc1b5b63051_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

a) Pole zacieniowanego obszaru, to <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/0a92d5c9-5912-4017-a0e9-6f6fa56ff337_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  obszaru powstałego z wycięcia trójąta równobocznego z narysowanego koła. Mamy zatem
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/9f34947d-e9dd-4104-b841-bc65f0594235_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/9f34947d-e9dd-4104-b841-bc65f0594235_small.svg" type="image/svg+xml"></object> , gdzie<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/d89ea52e-10ba-4acc-be20-cdeb6e08b449_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  jest polem koła, a <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/f7fafdc4-7bed-46fc-9a29-90dd659c75f3_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  polem trójkąta równobocznego.
Mamy <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/226a40ee-c579-4950-8fcd-b76b70803f05_small.svg" type="image/svg+xml"></object> . Przez h oznaczmy wysokość trójkąta równobocznego. Zatem promień okręgu opisanego na trójkącie możemy łatwo policzyć
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/0aea21eb-1367-42a3-83b5-c93749e8552d_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/0aea21eb-1367-42a3-83b5-c93749e8552d_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
 Teraz liczymy pole koła
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/63f7fdc0-c13b-431d-859e-c6db042fbe95_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/63f7fdc0-c13b-431d-859e-c6db042fbe95_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Teraz liczymy pole trójkąta
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/a945ddce-4419-4277-b052-3a90de898e4a_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/a945ddce-4419-4277-b052-3a90de898e4a_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/7b666a29-b148-46c7-8e6d-df326608ed29_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

Mamy R=10. Przez H oznaczmy wysokość dużego trójkąta równoboczneho o boku b. Przez h oznaczmy wysokość małego trójkąta równobocznego o boku a.
Mamy
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/24767365-f070-4af7-92ba-630201c8747e_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/18dc9388-f1e7-4cbf-ab15-45c469bca8fc_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
Liczymy b
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/12d6f2dd-3e85-41af-b4e9-544175ff317e_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/dca2af46-8f43-469f-a61d-9b61638aef73_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/5e87f81c-3cb8-4a98-b516-2eed59dfdae2_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

a) Rozpatrzmy poniższy rysunek. Promień okręgu <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/61793b1a-9578-4a83-8998-b82a7fe68938_small.svg" type="image/svg+xml"></object> jest długością boku sześciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg. Zatem <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/b05313df-f6df-49ee-acd9-3d803f2d0e9a_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  Stąd
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/2d1c0da3-b67f-4ae1-83be-f8b384bed96c_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

Komentarze