II gimnazjum

Matematyka z plusem 2

Matematyka

Liczy się matematyka 2

Matematyka 2001

Matematyka 2001. Zeszyt ćwiczeń cz. 1 

Matematyka 2001. Zeszyt ćwiczeń cz. 2

Matematyka 2. Ćwiczenia podstawowe

Matematyka 2. Zeszyt zadań

Matematyka na czasie! 2

Matematyka wokół nas 2

Matematyka wokół nas 2. Zeszyt ćwiczeń cz. 1

Matematyka wokół nas 2. Zeszyt ćwiczeń cz. 2

Matematyka z plusem 2 

Policzmy to razem 2

Oznaczmy długość boku ośmiokąta foremnego jako a=4cm.
a) Widzimy, iż trójkąt APH jest trójkątem równoramiennym. Kąt pomiędzy ramionami PH i PA ma miarę 90 stopni, zatem trójkąt PHA jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o podstawie a. Przez x oznaczmy szukaną długość odcinka PA.
Korzystając z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 45 i 45 stopni mamy
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/d99ea990-710a-4359-a9e2-1c6da00223ce_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
Zatem <object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/986436d8-2fd5-4fe3-b59d-fdd0a4ab2ec4_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/986436d8-2fd5-4fe3-b59d-fdd0a4ab2ec4_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
Czyli <object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/6951b311-6174-4f53-bacd-978ed94bc2d5_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/6951b311-6174-4f53-bacd-978ed94bc2d5_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
 
b) Promień okręgu wpisanego w ośmiokąt foremny ma taką samą długość co wysokość trójkątów równoramiennych jakie tworzą ten ośmiokąt (jest ich osiem). Na rysunek nanieśliśmy wszystkie potrzebne dane. Z podpunktu a) wiemy, iż odcinek DS ma długość <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/38be852e-cc0e-494a-93de-1e99d2af3047_small.svg" type="image/svg+xml"></object> . Ponadto wysokość trójkąta równoramiennego dzieli jego podstawę na połowę. Zatem widzimy poniższą zależność
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/aa5e31ab-39ea-43b7-92a5-d1bcac8ef79a_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/aa5e31ab-39ea-43b7-92a5-d1bcac8ef79a_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Średnica okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest przeciwprostokątną trójkąta. Zatem, aby policzyć promień okręgu najpierw policzymy przeciwprostokątną trójkąta.
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/bbd14490-48d7-48bb-becf-7489a8d62b58_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/17a41d8c-a40a-48ca-8a1f-97b9676e0f86_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Środek okręgu opisanego leży na zewnątrz tego trójkąta, jeśli trójkąt jest rozwartokątny.
Policzmy wszystkie kąty każdego z trójkątów opisanych w odpowiedziach

Łatwo można zauważyć, że prawidłowa jest odpowiedź D, ponieważ zdania ABC opisują ten sam punkt.

Odcinek AB jest promieniem okręgu i odcinek BC jest styczny do okręgu w punkcie B. Zatem kąt między odcinkiem AB a odcinkiem BC ma miarę 90 stopni (odcinke AB jest promieniem poprowadzonym do punktu styczności z odcinkiem BC).

Komentarze