II gimnazjum

Matematyka z plusem 2

a)
 Rysujemy odcinek AB długości 6 cm.
Przy wierzchołku A odkładamy kąt o mierze 30 stopni.
Przy wierzchołku B odkładamy kąt o mierze 60 stopni.
Punkt przecięcia ramion kątów oznaczamy literą C. Rysujemy odcinki AC i BC. Mamy zadany trójkąt.
Teraz wystarczy wykreślić dwusieczne dwóch dowolnych kątów trójkąta.
Konstrukcja dwusiecznej kąta przy wierzchołku A:
Z wierzchołka A danego kąta dowolnym promieniem zakreślamy łuk, który przetnie ramiona kąta w punktach D i E.
Z tych punktów  większą rozwartością cyrkla zakreślamy łuki, które przetną się w punkcie F.
Półprosta AF jest dwusieczną.
Powtarzamy powyższą konstrukcję dla kąta przy wierzchołku B.
Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na przecięciu dwusiecznych.
Teraz należy wyznaczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt.
Wystarczy wyznaczyć prostą prostopadłą do odcinka AB, przechodzącą przez punkt O.

Rozwiązanie 1

Najpierw należy skonstruować zadany czworokąt ABCD.
Najpierw rysujemy odcinki |AB|=5 cm oraz |AD|= 6 cm do siebie prostopadłe.
Następnie łączymy punkty D i B. Mamy odcinek DB. Konstrukcyjnie wyznaczamy trójkąt BCD, taki, że |DC| = 5cm, |BC|= 4 cm.
Konstrukcja trójkąta BCD:

a)  Wiemy, ze a+b+c=12 Chcemy policzyć pole trójkąta ABC, które jest sumą pól 3 trójkątów wyznaczonych przez dwusieczne kątów wewnętrznych narysowanego trójkąta. W każdym z tych trójkątów wysokość ma miarę r. Mamy zatem P=21​ra+21​rb+21​rc=21​r(a+b+c)=21​⋅1⋅12=6cm2

Rysujemy okrąg o środku w punkcie O i dowolnym promieniu.
Łączymy środek okręgu z dowolnym punktem na okręgu, który nazwiemy A. Odcinek OA jest promieniem okręgu. Za pomocą kątomierza odmierzamy na odcinku OA kąt 36 stopni. Punt przecięcię ramienia kąta i okręgu oznaczamy jako B.

Rysujemy okrąg o środku w punkcie O i promieniu 3 cm. 
Najpierw konstruujemy sześciokąt formeny.
Na okręgu oznaczamy punkt A. Wbijamy cyrkiel w punkt A i przenosimy cyrklem odmierzony promień okręgu i wykonujemy łuk na okręgu. Wbijamy cyrkiel w punkt przecięcia łuku z okręgiem i czynność powtarzamy. Wykonane łuki tworzą nam 6 punktów na okręgu, które należy połączyć.Mamy sześciokąt foremny ABCDEF.

Skoro wielokąt foremny ma być ułożony z niezachodzących trójkątów równobocznych, zatem miara jego kąta wewnętrznego musi być wielokrotnością 60 stopni. Kąt wewnętrzny n-kąta foremnego liczymy ze wzroru

Korzystamy ze wzoru na kąt wewnętrzny n-kąta foremnego α=n(n−2)⋅180​ a) n=5

Korzystamy ze wzoru na kąt wewnętrzny n-kąta foremnego α=n(n−2)⋅180​  a) 140=n(n−2)⋅180​ 140n=(n−2)180 140n=180n−360

W rozwiązaniu zobrazowaniu rozwiązania pomogą rysunki

a) Mamy a=6m . Sześciokąt foremny o boku a   szkłada się z sześciu trójkątów równobocznych o boku a . Zatem dłuższa

22