II gimnazjum

Matematyka z plusem 2

a)
 Rysujemy odcinek AB długości 6 cm.
Przy wierzchołku A odkładamy kąt o mierze 30 stopni.
Przy wierzchołku B odkładamy kąt o mierze 60 stopni.
Punkt przecięcia ramion kątów oznaczamy literą C. Rysujemy odcinki AC i BC. Mamy zadany trójkąt.
Teraz wystarczy wykreślić dwusieczne dwóch dowolnych kątów trójkąta.
Konstrukcja dwusiecznej kąta przy wierzchołku A:
Z wierzchołka A danego kąta dowolnym promieniem zakreślamy łuk, który przetnie ramiona kąta w punktach D i E.
Z tych punktów  większą rozwartością cyrkla zakreślamy łuki, które przetną się w punkcie F.
Półprosta AF jest dwusieczną.
Powtarzamy powyższą konstrukcję dla kąta przy wierzchołku B.
Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na przecięciu dwusiecznych.
Teraz należy wyznaczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt.
Wystarczy wyznaczyć prostą prostopadłą do odcinka AB, przechodzącą przez punkt O. 
Konstrukcja prostej prostopadłej do odcinka AB przechodzącej przez punkt O.
Z punktu O dowolnym promieniem zakreślamy dwa łuki na odcinku AB. 
Z punktów przecięcia łuków z odcinkiem AB tą samą rozwartością cyrkla kreślimy dwa łuki po drugiej stronie niż punkt O. 
Punkt przecięcia tych łuków łączymy z punktem O. Mamy prostą prostopadłą.
Punkt przecięcia odcinka AB oraz prostej prostopadłej nazwijmy J. 
Odcinek OJ jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt Zakreślamy okrąg o środku w punkcie O i promieniu OJ.
 
 
<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/22446/hHW8o9SzBw5fboB2MEYShQ%3D%3D_d13a719dab150d613760e358195a30f55155425bb51e87804908f98954633824.jpg" width="403" height="268">
b)
Rysujemy odcinek AB długości 6 cm.
Przy wierzchołku A odkładamy kąt o mierze 45 stopni.
Przy wierzchołku B odkładamy kąt o mierze 45 stopni.
Punkt przecięcia ramion kątów oznaczamy literą C. Rysujemy odcinki AC i BC. Mamy zadany trójkąt.
Teraz wystarczy wykreślić dwusieczne dwóch dowolnych kątów trójkąta.
 
Konstrukcja dwusiecznej kąta przy wierzchołku A:
Z wierzchołka A danego kąta dowolnym promieniem zakreślamy łuk, który przetnie ramiona kąta w punktach D i E.
Z tych punktów  większą rozwartością cyrkla zakreślamy łuki, które przetną się w punkcie F.
Półprosta AF jest dwusieczną.
Powtarzamy powyższą konstrukcję dla kąta przy wierzchołku B.
Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na przecięciu dwusiecznych.
Teraz należy wyznaczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt.
Wystarczy wyznaczyć prostą prostopadłą do odcinka AB, przechodzącą przez punkt O.
 
Konstrukcja prostej prostopadłej do odcinka AB przechodzącej przez punkt O.
Z punktu O dowolnym promieniem zakreślamy dwa łuki na odcinku AB. 
Z punktów przecięcia łuków z odcinkiem AB tą samą rozwartością cyrkla kreślimy dwa łuki po drugiej stronie niż punkt O. 
Punkt przecięcia tych łuków łączymy z punktem O. Mamy prostą prostopadłą.
Punkt przecięcia odcinka AB oraz prostej prostopadłej nazwijmy J. 
Odcinek OJ jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt Zakreślamy okrąg o środku w punkcie O i promieniu OJ.
<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/22447/UTJXvjSIgVTmNYyXhLa7UA%3D%3D_2ff0fa39afeb0254062077d66a7aa087e4a3c2bc19855ec6a478d1b91a5c2421.jpg" width="415" height="284">
c)
Rysujemy odcinek AB długości 6 cm.
Przy wierzchołku A odkładamy kąt o mierze 45 stopni.
Przy wierzchołku B odkładamy kąt o mierze 30 stopni.
Punkt przecięcia ramion kątów oznaczamy literą C. Rysujemy odcinki AC i BC. Mamy zadany trójkąt.
Teraz wystarczy wykreślić dwusieczne dwóch dowolnych kątów trójkąta.
 
Konstrukcja dwusiecznej kąta przy wierzchołku A:
Z wierzchołka A danego kąta dowolnym promieniem zakreślamy łuk, który przetnie ramiona kąta w punktach D i E.
Z tych punktów  większą rozwartością cyrkla zakreślamy łuki, które przetną się w punkcie F.
Półprosta AF jest dwusieczną.
Powtarzamy powyższą konstrukcję dla kąta przy wierzchołku B.
Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na przecięciu dwusiecznych.
Teraz należy wyznaczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt.
Wystarczy wyznaczyć prostą prostopadłą do odcinka AB, przechodzącą przez punkt O.
 
Konstrukcja prostej prostopadłej do odcinka AB przechodzącej przez punkt O.
Z punktu O dowolnym promieniem zakreślamy dwa łuki na odcinku AB. 
Z punktów przecięcia łuków z odcinkiem AB tą samą rozwartością cyrkla kreślimy dwa łuki po drugiej stronie niż punkt O. 
Punkt przecięcia tych łuków łączymy z punktem O. Mamy prostą prostopadłą.
Punkt przecięcia odcinka AB oraz prostej prostopadłej nazwijmy J. 
Odcinek OJ jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt Zakreślamy okrąg o środku w punkcie O i promieniu OJ.
 
 <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/22448/mJrRUHH7xQnAfZkV4fxpQw%3D%3D_442dbc721e872d24651905d170873f767d9e5b9b9666d5b7dea72f93abebf23a.jpg" width="399" height="237">

Rozwiązanie 1

Najpierw należy skonstruować zadany czworokąt ABCD.
Najpierw rysujemy odcinki |AB|=5 cm oraz |AD|= 6 cm do siebie prostopadłe.
Następnie łączymy punkty D i B. Mamy odcinek DB. Konstrukcyjnie wyznaczamy trójkąt BCD, taki, że |DC| = 5cm, |BC|= 4 cm.
Konstrukcja trójkąta BCD:

a)  Wiemy, ze a+b+c=12 Chcemy policzyć pole trójkąta ABC, które jest sumą pól 3 trójkątów wyznaczonych przez dwusieczne kątów wewnętrznych narysowanego trójkąta. W każdym z tych trójkątów wysokość ma miarę r. Mamy zatem P=21​ra+21​rb+21​rc=21​r(a+b+c)=21​⋅1⋅12=6cm2

Rysujemy okrąg o środku w punkcie O i dowolnym promieniu.
Łączymy środek okręgu z dowolnym punktem na okręgu, który nazwiemy A. Odcinek OA jest promieniem okręgu. Za pomocą kątomierza odmierzamy na odcinku OA kąt 36 stopni. Punt przecięcię ramienia kąta i okręgu oznaczamy jako B.

Rysujemy okrąg o środku w punkcie O i promieniu 3 cm. 
Najpierw konstruujemy sześciokąt formeny.
Na okręgu oznaczamy punkt A. Wbijamy cyrkiel w punkt A i przenosimy cyrklem odmierzony promień okręgu i wykonujemy łuk na okręgu. Wbijamy cyrkiel w punkt przecięcia łuku z okręgiem i czynność powtarzamy. Wykonane łuki tworzą nam 6 punktów na okręgu, które należy połączyć.Mamy sześciokąt foremny ABCDEF.

Skoro wielokąt foremny ma być ułożony z niezachodzących trójkątów równobocznych, zatem miara jego kąta wewnętrznego musi być wielokrotnością 60 stopni. Kąt wewnętrzny n-kąta foremnego liczymy ze wzroru

Korzystamy ze wzoru na kąt wewnętrzny n-kąta foremnego α=n(n−2)⋅180​ a) n=5

Korzystamy ze wzoru na kąt wewnętrzny n-kąta foremnego α=n(n−2)⋅180​  a) 140=n(n−2)⋅180​ 140n=(n−2)180 140n=180n−360

W rozwiązaniu zobrazowaniu rozwiązania pomogą rysunki

a) Mamy a=6m . Sześciokąt foremny o boku a   szkłada się z sześciu trójkątów równobocznych o boku a . Zatem dłuższa

27