Liczbę $a$ nazywamy pierwiastkiem $\mathbf{k}$-krotnym $\left(k\in {\mathbb{N}}_{+}\right)$ wielomianu $W$, jeżeli w jego rozkładzie na czynniki występuje czynnik ${\left(x-a\right)}^k$ i nie występuje czynnik ${\left(x-a\right)}^{k+1}$.

Przykład 4. Określ krotność pierwiastków wielomianu $W(x)={\left(x^2-9\right)}^2\left(x+3\right)\left(2x^2+x-1\right)$.

Rozwiązanie

$W(x)=0⟺{\left(x^2-9\right)}^2\left(x+3\right)\left(2x^2+x-1\right)=0$

$\begin{array}{ccccc}{x}^2-9=0& \vee & x+3=0& \vee & 2x^2+x-1=0\\ \left(x+3\right)\left(x-3\right)=0& & x=-3& & \Delta =1^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=9,\sqrt{\Delta }=3\\ x=3\vee x=-3& & & & x_1=\frac{-1-3}{4}=-1\\ & & & & x_2=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}\end{array}$

$W(x)={\left(x^2-9\right)}^2\left(x+3\right)\left(2x^2+x-1\right)={\left[\left(x+3\right)\left(x-3\right)\right]}^2\left(x+3\right)\cdot 2\left(x+1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=$
$=2{\left(x+3\right)}^3{\left(x-3\right)}^2\left(x+1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$

Pierwiastki jednokrotne: $-1$, $\frac{1}{2}$
Pierwiastek dwukrotny: $3$
Pierwiastek trzykrotny: $-3$