Dany jest trapez $ABCD$ , którego ramiona mają długości $\left|AD\right|=21$ i $\left|BC\right|=24$. Kąty $\sphericalangle ABC$
i $\sphericalangle DAC$ mają miarę $60^{\circ }$. Długości podstaw $AB$, $CD$ i przekątnej $AC$ to liczby naturalne. 
Znajdź pole tego trapezu.

Rozwiązanie

Niech $\left|AB\right|=x$, $\left|CD\right|=y$ i $\left|AC\right|=z$.
Z treści zadania mamy: $x,y,z\in \mathbb{N}$

Zauważmy, że kąty $\sphericalangle BAC$ i $\sphericalangle DCA$
są naprzemianległe.

W takim razie trójkąty $ABC$ i $CAD$ są podobne (cecha kkk)    $\to$    $\frac{x}{21}=\frac{z}{24}$    $\to$    $x=\frac{7}{8}\cdot z$

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $ACD$ mamy:
$x^2=21^2+z^2-2\cdot 21\cdot z\cdot \cos 60^{\circ }$    $\to$    ${\left(\frac{7}{8}\right)}^2{z}^2=21^2+z^2-42z\cdot \frac{1}{2}$    $|\cdot 8^2$
$49z^2=28224+64z^2-1344z$    $\to$    $15z^2-1344z+28224=0$
$\Delta =(-1344{)}^2-4\cdot 15\cdot 28224=112896$    $\to$    $\sqrt{\Delta }=336$
$z_1=\frac{1344-336}{2\cdot 15}=\frac{168}{5}\notin \mathbb{N}$    $z_2=\frac{1344+336}{2\cdot 15}=56\in \mathbb{N}$        $\to$    $z=56$