Dany jest prostokąt o bokach długości $12$ i $5$.
Oblicz cosinus kąta ostrego między przekątnymi tego prostokąta.

Rozwiązanie (I sposób)

Niech $d$ oznacza długość przekątnej prostokąta.
Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
$d^2=12^2+5^2$
$d^2=144+25=169$
$d=13$

Niech $\alpha$ będzie kątem ostrym między przekątnymi prostokąta. W takim razie naprzeciwko tego kąta leży krótszy bok prostokąta, czyli $5$.

Wiemy, że przekątne prostokąta przecinają się w połowie, więc z twierdzenia cosinusów mamy:
$5^2={\left(\frac{13}{2}\right)}^2+{\left(\frac{13}{2}\right)}^2-2\cdot \frac{13}{2}\cdot \frac{13}{2}\cdot \cos \alpha$   $\to$   $25=\frac{169}{2}-\frac{169}{2}\cdot \cos \alpha$
$50=169-169\cos \alpha$    $\to$    $\cos \alpha =\frac{169-50}{169}=\frac{119}{160}$        Odp.: $\cos \alpha =\frac{119}{160}$