t- Zadanie 6: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Rozwiązanie (II sposób)

Założenia: $a > 0$ i $b > 0$ , $a + b = 1$
Teza: $\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{a + 2 b} \geq \frac{4}{3}$

Dowód
Przekształcamy równoważnie tezę:
$\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{a + 2 b} \geq \frac{4}{3}$
$\frac{1}{a + a + b} + \frac{1}{a + b + b} \geq \frac{4}{3}$
$\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{1 + b} \geq \frac{4}{3}$
$\frac{b + 1}{( a + 1 ) ( b + 1 )} + \frac{a + 1}{( b + 1 ) ( a + 1 )} \geq \frac{4}{3}$