h- Zadanie 4: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Rozwiązanie (I sposób)
Założenia: $a > 0$ i $b > 0$ , $a + b = 1$
Teza: $\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{a + 2 b} \geq \frac{4}{3}$
Dowód: Przekształcamy równoważnie tezę.
$\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{a + 2 b} \geq \frac{4}{3}$
$\frac{a + 2 b}{( 2 a + b ) ( a + 2 b )} + \frac{2 a + b}{( 2 a + b ) ( a + 2 b )} \geq \frac{4}{3}$
$\frac{3 a + 3 b}{( 2 a + b ) ( a + 2 b )} - \frac{4}{3} \geq 0$
$\frac{3 ( 3 a + 3 b )}{3 ( 2 a + b ) ( a + 2 b )} - \frac{4 ( 2 a + b ) ( a + 2 b )}{3 ( 2 a + b ) ( a + 2 b )} \geq 0$
$\frac{9 a + 9 b - 4 ( 2 a ^{2} + 5 ab + 2 b ^{2} )}{3 ( 2 a + b ) ( a + 2 b )} \geq 0$
$\frac{9 a + 9 b - 8 a ^{2} - 20 ab - 8 b ^{2}}{3 ( 2 a + b ) ( a + 2 b )} \geq 0$