v- Zadanie 1: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Rozwiązanie (I sposób)

Założenie: $a \in R_{+}$
Teza: $a^{2} + \frac{16}{a} \geq 12$
Dowód

Przekształcamy równoważnie tezę:

a^{2} + \frac{16}{a} \geq 12

a^{2} + \frac{16}{a} - 12 \geq 0

\frac{a ^{3}}{a} + \frac{16}{a} - \frac{12 a}{a} \geq 0

\frac{a ^{3} - 12 a + 16}{a} \geq 0

a (a^{3} - 12 a + 16) \geq 0

a (a^{3} - 16 a + 4 a + 16) \geq 0

a [a (a^{2} - 16) + 4 (a + 4)] \geq 0

$a [a (a - 4) (a + 4) + 4 (a + 4)] \geq 0$
$a (a + 4) [a (a - 4) + 4] \geq 0$
$a (a + 4) (a^{2} - 4 a + 4) \geq 0$
$a (a + 4) (a - 2)^{2} \geq 0$
Z założeń wiemy, że $a > 0$ , więc $a + 4 > 0$ .
Dodatkowo kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem $(a - 2)^{2} \geq 0$ .
Iloczyn liczb dodatnich i liczby nieujemnej jest nieujemny, zatem potwierdzamy nierówność z tezy, czyli $a^{2} + \frac{16}{a} \geq 12$ . $■$