Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej $\mathbf{n}$ prawdziwa jest następująca podwójna nierówność                
                                           $\frac{1}{\sqrt{\mathbf{n}+3}}<2\sqrt{\mathbf{n}+3}-2\sqrt{\mathbf{n}+2}<\frac{1}{\sqrt{\mathbf{n}+2}}$

Rozwiązanie

Założenie: $n\in \mathbb{N}$
Teza: $\frac{1}{\sqrt{n+3}}<2\sqrt{n+3}-2\sqrt{n+2}<\frac{1}{\sqrt{n+2}}$
Dowód: 
$2\sqrt{n+3}-2\sqrt{n+2}=2\left(\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2}\right)=\frac{2\left(\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2}\right)\cdot \left(\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}\right)}{\left(\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}\right)}=$
$=\frac{2\left(n+3-\left(n+2\right)\right)}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}=\frac{2\left(n+3-n-2\right)}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}=\frac{2}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}$

$\frac{2}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}>\frac{2}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+3}}=\frac{2}{2\sqrt{n+3}}=\frac{1}{\sqrt{n+3}}$

$\frac{2}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}<\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+2}}=\frac{2}{2\sqrt{n+2}}=\frac{1}{\sqrt{n+2}}$

Zatem podwójna nierówność z tezy jest prawdziwa.                                                                  $■$