Rozwiązanie

Założenia: $x,y,a\in {\mathbb{R}}_{+}$ i $x<y$
Teza: $\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2$
Dowód: Przekształcamy równoważnie tezę. Wiemy, że $x,y,a\in {\mathbb{R}}_{+}$, więc $y+a>0$ i $x>0$. Zatem:
$\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2|\cdot (y+a)x$
$x\left(x+a\right)+y\left(y+a\right)>2x\left(y+a\right)$
$x\left(x+a\right)+y\left(y+a\right)-2x(y+a)>0$
$x^2+xa+y^2+ya-2xy-2xa>0$
$x^2+y^2-2xy+ya-xa>0$
${\left(x-y\right)}^2+a\left(y-x\right)>0$
Z założeń wiemy, że $a>0$ oraz $x<y$, więc $a\left(y-x\right)>0$. 
Dodatkowo kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem ${\left(x-y\right)}^2\ge 0$. Natomiast $x<y$, więc $x-y<0$, a w związku z tym ${\left(x-y\right)}^2>0$. 
Suma dwóch liczb dodatnich jest dodatnia, zatem potwierdzamy nierówność z tezy.     $■$