$\frac{9a+9b-8a^2-20ab-8b^2}{3\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}\ge 0$

Wiemy, że $a>0$ i $b>0$, więc $2a+b>0$ i $a+2b>0$, zatem $3\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)>0$.

Wystarczy w takim razie pokazać, że:
$9a+9b-8a^2-20ab-8b^2\ge 0$
Wykorzystujemy założenie: $a+b=1⟹a=1-b$ 
$9\left(1-b\right)+9b-8{\left(1-b\right)}^2-20\left(1-b\right)b-8b^2\ge 0$
$9-9b+9b-8\left(1-2b+b^2\right)-20b\left(1-b\right)-8b^2\ge 0$
$9-8+16b-8b^2-20b+20b^2-8b^2\ge 0$
$1-4b+4b^2\ge 0$
$1-2\cdot 1\cdot 2b+{\left(2b\right)}^2\ge 0$
${\left(1-2b\right)}^2\ge 0$

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem prawdziwa jest nierówność:
$9a+9b-8a^2-20ab-8b^2\ge 0$, a co za tym idzie, otrzymaliśmy też prawdziwość nierówności z tezy.                                                                                                           $■$