Granica ciągu o wzorze ogólnym w postaci ułamka

Żeby obliczyć granicę postaci $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{f(n)}{g(n)}$, gdzie $f$ i $g$ to pewne funkcje, wystarczy podzielić licznik i mianownik przez część funkcji $g$, która „rośnie najszybciej", a następnie skorzystać
z twierdzeniao działaniach na granicach ciągów zbieżnych.

• W przypadku, gdy $g$ to suma potęg zmiennej $n$, dzielimy przez najwyższą z nich.

     $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n^2-2n+4}{4n^2-2n+3}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{3n^2}{n^2}-\frac{2n}{n^2}+\frac{4}{n^2}}{\frac{4n^2}{n^2}-\frac{2n}{n^2}+\frac{3}{n^2}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3-\frac{2}{n}+\frac{4}{n^2}}{4-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}=\frac{3}{4}$

• W przypadku, gdy $g$ to suma wyrażeń postaci $a^n$, dzielimy przez to wyrażenie, w którym $a$ jest największe.

     $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3^n+5^n}{5^n+2^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{3^n}{5^n}+\frac{5^n}{5^n}}{\frac{5^n}{5^n}+\frac{2^n}{5^n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n+1}{1+{\left(\frac{2}{5}\right)}^n}=\frac{1}{1}=1$