Twierdzenie o działaniach na granicach ciągów zbieżnych

Dane są dwa ciągi zbieżne $(a_n)$ i $(b_n)$ takie, że $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$ i $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=b$. Wtedy zachodzi

• $\underset{n\to \infty }{\lim }(p\cdot a_n)=p\cdot a$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $p$.
• $\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n\pm b_n)=a\pm b$.
• $\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n\cdot b_n)=a\cdot b$.
• $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}$, przy założeniu, że $b\ne 0$.

Podstawowe granice, które warto znać:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n$ nie istnieje dla $q\le -1$ $\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=\{\begin{array}{l}0,q\in (-1,1)\\ 1,q=1\\ \infty ,q>1\end{array}$

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a}=1$ dla $a>0$ $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1$ $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^k}=0$ dla $k>0$ $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$