Twierdzenie o działaniach na granicach ciągów zbieżnych

Dane są dwa ciągi zbieżne $(a_n)$ i $(b_n)$ takie, że $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$ i $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=b$. Wtedy zachodzi:

• $\underset{n\to \infty }{\lim }(s\cdot a_n)=s\cdot a$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $s$
• $\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n\pm b_n)=a\pm b$
• $\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n\cdot b_n)=a\cdot b$
• $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}$, przy założeniu, że $b\ne 0$

Podstawowe granice, które warto znać:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=0$  dla $q\in (-1,1)$  $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a}=1$ dla $a>0$ $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1$

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^k}=0$ dla $k>0$ $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^k=\infty$ dla $k>0$ $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$