Przykład 4. Oblicz wartość parametru $a$, dla którego granica

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(an{)}^2+3n}{(an+1)(3n+a)}$

jest równa $1$.

Rozwiązanie

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(an{)}^2+3n}{(an+1)(3n+a)}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a^2{n}^2+3n}{3a{n}^2+a^{2}n+3n+a}=\dots$

$1^{\circ }$ $a=0$
$\dots =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n}{3n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{1}=1$

$2^{\circ }$ $a\ne 0$
$\dots =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{a^2{n}^2}{n^2}+\frac{3n}{n^2}}{\frac{3a{n}^2}{n^2}+\frac{a^{2}n}{n^2}+\frac{3n}{n^2}+\frac{a}{n^2}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a^2+\frac{3}{n}}{3a+\frac{a^2}{n}+\frac{3}{n}+\frac{a}{n^2}}=\frac{a}{3}=1$    $\to$    $a=3$

Odp.: Granica z treści zadania jest równa $1$ dla $a=0$ i dla $a=3$.