$1^{\circ }$ Iloczyn jest równy $0$    $\to$    $368559$ liczb.

$2^{\circ }$ Iloczyn jest równy $2$    $\to$    $6$ liczb.

$3^{\circ }$ Iloczyn jest równy $4$. Wtedy mamy dwie możliwości:

• Liczba składa się z $5$ jedynek i $1$ czwórki. Takich liczb jest $6$.
• Liczba składa się z $4$ jedynek i $2$ dwójek.
  Wybieramy $2$ z $6$ miejsc dla dwójek na $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)$ sposobów.            np.  $\underset{—}{}\underset{—}{}\underset{—}{}\underset{—}{2}\underset{—}{2}\underset{—}{}$
  Resztę wypełniamy jedynkami.                                                     np.  $\underset{—}{1}\underset{—}{1}\underset{—}{1}\underset{—}{2}\underset{—}{2}\underset{—}{1}$
  Takich liczb jest $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=\frac{6!}{2!\cdot 4!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{2!\cdot 4!}=\frac{6\cdot 5}{2}=15$.

Dodając liczby ze wszystkich przypadków dostajemy $368559+6+6+15=368586$.
Odp.: Takich liczb jest $368586$.