Przykład 1. Zbadaj monotoniczność ciągu $\left(a_n\right)$ określonego podanym wzorem.

a) $a_n=n^2-n$   dla   $n\in {\mathbb{N}}_{+}$

b) $\{\begin{array}{l}{a}_1=2\\ a_{n+1}=-3a_n^2+a_n-2\text{dla}n\in {\mathbb{N}}_{+}\end{array}$

Rozwiązanie

a) $a_n=n^2-n$

$a_{n+1}=(n+1{)}^2-(n+1)=n^2+2n+1-n-1=n^2+n$

$a_{n+1}-a_n=n^2+n-\left(n^2-n\right)=n^2+n-n^2+n=2n>0$,   bo   $n>0$

Otrzymaliśmy więc, że $a_{n+1}-a_n>0$ dla $n\in {\mathbb{N}}_{+}$, czyli:

$a_{n+1}>a_n$   dla   $n\in {\mathbb{N}}_{+}$

Zatem ten ciąg jest monotoniczny (rosnący).