Przykład 1. Zbadaj monotoniczność ciągu $\left(a_n\right)$ określonego podanym wzorem.

a) $a_n=n^2-n$   dla   $n\in {\mathbb{N}}_{+}$

b) $\{\begin{array}{l}{a}_1=2\\ a_{n+1}=-3a_n^2+a_n-2\text{dla}n\in {\mathbb{N}}_{+}\end{array}$

Rozwiązanie

b) $$\begin{gathered} a_{n+1}=-3a_n^2+a_n-2 \\ {a}_{n+1}-a_n=-3a_n^2+a_n-2-a_n=\stackrel{\le 0}{\overbrace{-3\underset{\ge 0}{\underbrace{a_n^2}}}}-2<0 \end{gathered}$$

Otrzymaliśmy więc, że $a_{n+1}-a_n<0$ dla $n\in {\mathbb{N}}_{+}$, czyli:

$a_{n+1}<a_n$   dla   $n\in {\mathbb{N}}_{+}$

Zatem ten ciąg jest monotoniczny (malejący).