Zadanie 2. Dany jest ciąg $\left(a_n\right)$ określony dla wszystkich liczb naturalnych $n\ge 1$ wzorem ogólnym: $a_n=\frac{-n^2+3}{n^2}$ .

Uzasadnij, że ciąg $\left(b_n\right)$ określony dla wszystkich liczb naturalnych $n\ge 1$ wzorem
$b_n={\left(-1\right)}^n\cdot n^2\cdot a_n$ nie jest monotoniczny.

Rozwiązanie

$b_n={\left(-1\right)}^n\cdot n^2\cdot a_n={\left(-1\right)}^n\cdot n^2\cdot \frac{-n^2+3}{n^2}={\left(-1\right)}^n\cdot \left(-n^2+3\right)$

Zauważmy, że $-n^2+3<0$ dla $n\ge 2$.

Ponadto ${\left(-1\right)}^n>0$ dla $n$-parzystych i ${\left(-1\right)}^n<0$ dla $n$-nieparzystych.

Zatem ciąg $\left(b_n\right)$ ma na przemian wyrazy dodatnie i ujemne, więc nie jest monotoniczny.