Zadanie 2. Dany jest ciąg $\left(a_n\right)$, określony dla wszystkich liczb naturalnych $n\ge 1$ wzorem ogólnym: $a_n=\frac{-n^2+3}{n^2}$ .

Zadanie 2.1. Wykaż, że ciąg $\left(a_n\right)$ jest malejący.

Zadanie 2.2. Uzasadnij, że ciąg $\left(b_n\right)$, określony dla wszystkich liczb naturalnych $n\ge 1$ wzorem: $b_n={\left(-1\right)}^n\cdot n^2\cdot a_n$ nie jest monotoniczny.

Rozwiązanie 2.1

Chcemy wykazać, że $a_{n+1}<a_n$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Wystarczy pokazać, że $a_{n+1}-a_n<0$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

$a_{n+1}=\frac{-{\left(n+1\right)}^2+3}{{\left(n+1\right)}^2}=\frac{-\left(n^2+2n+1\right)+3}{{\left(n+1\right)}^2}=\frac{-n^2-2n-1+3}{{\left(n+1\right)}^2}=\frac{-n^2-2n+2}{{\left(n+1\right)}^2}$